Một số phân phối liên tục quan trọng -2

Ví dụ 3.4. Giả sử chiều cao X của một loại cây là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Tiến hành đo 640 cây thấy có 25 cây thấp hơn 18m và 110 cây cao hơn 24m a- Tính chiều cao trung bình của cây và độ lệch tiêu chuẩn. b- ước lượng số cây có chiều cao trong khoảng từ 16m đến 20m trong số 640 cây trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phân phối liên tục quan trọng -2Ví dụ 3.4. Giả sử chiều cao X của một loại cây là đại lượng ngẫu nhiên có phânphối chuẩn. Tiến hành đo 640 cây thấy có 25 cây thấp hơn 18m và 110 cây caohơn 24ma- Tính chiều cao trung bình của cây và độ lệch tiêu chuẩn.b- ước lượng số cây có chiều cao trong khoảng từ 16m đến 20m trong số 640 câytrên.Giải. Giả sử E(X) = a và .a- Theo giả thiết ta có P( X < 18) =P(X < 24) =Vậy ta có hệGiải hệ ta nhận được a = 21,9 m và = 2,22 m.b- Ta cóĐịnh lý 3.5. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tham số a, s2 thìE(X) =Chứng minh. Hàm mật độ của X có dạngf(x) =nênE(X) = .Đặt t = và x = a + st. Từ đó thì dt =E(X) = = a.1 + 0 = aTa cóDX = E(X – a)2 =Đặt t = và x = a + st . Từ đó thì dt = Sự liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối chuẩn. Định lí 3.6. (Định lí DeMoivre - Laplace) Giả sử xác suất để biến cố A xuất hiệntrong mỗi phép thử của dãy n phép thử Bernoulli là p, 0 < p < 1. Khi đó, nếu Sn làsố lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử thìtrong đó , x Î R.Vì ta xấp xỉ phân bố của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc bằng phân bố của mộtđại lượng ngẫu nhiên liên tục nên để có được xấp xỉ chính xác hơn, ta cần có hiệuchỉnh như sauVí dụ 3.7. Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần mặt sấp xuất hiện khi gieo 40lần một đồng xu cân đối. Tính P(X = 20).Giải. Ta thấy X có phân phối nhị thức tham số n = 40; p =0,5. Ta có4. Phân phối khi bình phương (c2)Định nghĩa 4.1. Biến ngẫu nhiên X có phân phối khi bình phương với n bậc tự do,ký hiệu c2(n) nếu hàm mật độ của nó có dạng:trong đó G(a) = với a>0 là hàm Gamma. G(n) = (n - 1)! với nChú ý: G(a) = (a - 1)G(a - 1);5. Phân phối StudentĐịnh nghĩa 5.1.. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Student với k bậc tự donếu hàm mật độ của nó có dạngtrong đó , a > 0, b > 0, được gọi là hàm Bêta.6. Phân phối F (Fisher R.A - Snedecor G.W)Định nghĩa 6.1. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối F với m, n bậc tự do nếuhàm mật độ của nó có dạng: