Một số phương pháp phân tích tính ổn định của phương trình vi phân

Phương trình vi phân là một công cụ hiệu quả được sử dụng rộng rãi để mô hình các vấn đề thực trong nghiên cứu khoa học kỹ thuật và đời sống. Trong khảo cứu này, tác giả sẽ giới thiệu một số thành tựu đạt được trong nỗ lực trả lời câu hỏi trên. Cùng với đó là một số chủ đề nghiên cứu liên quan có thể được triển khai trong thời gian tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp phân tích tính ổn định của phương trình vi phân MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Mai Quang Vinh1 1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu MộtTÓM TẮT Phương trình vi phân là một công cụ hiệu quả được sử dụng rộng rãi để mô hình các vấn đềthực trong nghiên cứu khoa học kỹ thuật và đời sống. Một mô hình (gồm các phương trình vi phân)thường bao gồm các tham số liên quan và điều kiện ban đầu của các đại lượng đang khảo sát. Mộtcâu hỏi rất tự nhiên là đầu ra của mô hình phụ thuộc như thế nào với đầu vào của mô hình? Vấn đềnày đã thu hút được nhiều sự quan tâm cho đến ngày nay. Trong khảo cứu này, chúng tôi sẽ giớithiệu một số thành tựu đạt được trong nỗ lực trả lời câu hỏi trên. Cùng với đó là một số chủ đề nghiêncứu liên quan có thể được triển khai trong thời gian tới. Từ khóa: hàm Lyapunov, lý thuyết mạng phản ứng hóa học, Phương trình vi phân, tính ổn định.1. TỔNG QUAN Phương trình vi phân là một phương trình toán học phụ thuộc vào một biến độc lập duy nhất.Nó biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm (hoặc nhiều hàm) chưa được biết và đạo hàm của chúng. Lýthuyết về phương trình vi phân đã được phát triển từ rất sớm và thu hút được nhiều sự quan tâmnghiên cứu (Isaac Newton, 1744). Nhiều kết quả về phương trình vi phân đã được khám phá. Phươngtrình vi phân đã được sử dụng rộng rãi để mô hình các hiện tượng trong nghiên cứu khoa học, kỹthuật, kinh tế và các lĩnh vực khác (George Simmons, 2016; Vladimir Kolmanovskii và nnk, 2013;Edelstein-Keshet, 2005; Lee Segel và nnk, 2013). Sẽ rất khó để trình bày những ứng dụng phong phúcủa phương trình vi phân. Do đó. ở đây chúng tôi chỉ tóm tắt một số ứng dụng phổ biến và cơ bản. Trong nghiên cứu vật lý, phương trình vi phân thường được sử dụng để mô hình vấn đề đangquan tâm. Chẳng hạn, mô hình sự chuyển động cả vật thể, sự chuyển động của dao động cưỡng bức.Phương trình vi phân còn được xem là một công cụ hỗ trợ để tìm lời giải cho các mô hình gồm cácphương trình đạo hàm riêng (Farkhad Aliev và nnk, 2023; Venkataraman Balakrishnan, 2020). Trong kinh tế, phương trình vi phân được sử dụng để mô hình sự tăng trưởng kinh tế, chu kỳ giaodịch thương mại (Anastasios Tsoularis, 2021). Phương trình vi phân được sử dụng để phân tích các vấnđề tối ưu hóa trong kinh tế, chẳng hạn như tìm kiếm chiến lược đầu tư hoặc tiêu dùng tối ưu. Những môhình này thường liên quan đến việc tối đa hóa các hàm lợi ích có ràng buộc (K. S. Bhamra, 2015). Phương trình vi phân cũng được sử dụng rộng rãi để mô hình các vấn đề thực tế trong sinh học.Chẳng hạn, mô hình sự tương tác giữa các loài trong một cộng đồng, mô hình sự phát triển của tếbào, mô hình dịch bệnh. Bên cạnh đó, phương trình vi phân cũng được sử dụng rộng rãi trong nghiêncứu cơ chế động học của enzyme (Edelstein-Keshet, 2005; Vinh Quang Mai và nnk, 2018; VinhQuang Mai và nnk, 2021). Ngoài ra, phương trình vi phân cũng được sử dụng rộng rãi trong nghiêncứu hóa học. Có những lý thuyết toán học riêng biệt dành cho nghiên cứu các hệ phản ứng sinh hóaphức tạp (Feinberg, 2019; Hirokazu Komatsu và nnk, 2018). Có thể thấy ứng dụng phong phú của phương trình vi phân trong nghiên cứu các lĩnh vực khoahọc, kỹ thuật và đời sống. Khi sử dụng phương trình vi phân để mô hình, việc tìm nghiệm của nó làcần thiết. Một khía cạnh thu hút được nhiều sự quan tâm trong khi sử dụng các mô hình phương trìnhvi phân là tính ổn định của mô hình. Nói cách khác, nghiệm của mô hình sẽ phụ thuộc vào điều kiệnban đầu của mô hình như thế nào? Nhiều nỗ lực đã được thực hiện để trả lời câu hỏi này (Seyed 337Nikravesh, 2018; Marc Roussel, 2019). Trong báo cáo này, một số kết quả về phân tích tính ổn địnhcủa phương trình vi phân sẽ được thảo luận. Báo cáo sẽ được tổ chức như sau. Mục 2 sẽ trình bày sơ lược về phương pháp nghiên cứu đượcsử dụng trong khảo cứu này. Các kết quả của khảo cứu này sẽ được trình bày trong mục 3. Cuối cùng,một số nhận xét cũng như một vài hướng nghiên cứu liên quan sẽ được tóm tắt trong mục 4.2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong báo cáo này, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu điển hình cho các nghiên cứutoán học lý thuyết. Cụ thể, phương pháp tra cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu đã được sử dụng ở đây.Dưới đây là tóm lược về cơ sở toán học cần thiết cho nghiên cứu tiếp theo. Chi tiết hơn có thể đượctìm thấy trong (Isaac Newton, 1744). Xét (hệ) phương trình vi phân ?̇ = ?(?), (1)trong đó x là một hàm số chưa biết của t và ?̇ là đạo hàm cấp một của nó. Định nghĩa 2.1. Trạng thái dừng của (hệ) phương trình vi phân (1) là nghiệm của (hệ)phương trình f(x) = 0. Định nghĩa 2.2. Trạng thái dừng ? ∗ của (1) là ổn định nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại ...