Nghiệm hữu hiệu yếu và điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vector

Trong bài báo cáo này của chúng tôi chứng minh điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiện yếu của bất đẳng thức biến phân vecto có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Với các giả thiết về tính lồi suy rộng cho các hàm dữ liệu của bài toán thì điều kiện cần trở thành điều kiện đủ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiệm hữu hiệu yếu và điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vector NghiÖm h÷u hiÖu yÕu vµ ®iÒu kiÖn tèi ­u cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ §inh DiÖu H»ng∗ §¹i häc c«ng nghÖ th«ng tin & truyÒn th«ng - §¹i häc Th¸i Nguyªn §ç V¨n L­u ViÖn To¸n häc, ViÖn Hµn l©m Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam Tãm t¾t Trong bµi b¸o nµy chóng t«i chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ cã rµng buéc ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc. Víi c¸c gi¶ thiÕt vÒ tÝnh låi suy réng cho c¸c hµm d÷ liÖu cña bµi to¸n th× ®iÒu kiÖn cÇn trë thµnh ®iÒu kiÖn ®ñ. Tõ kho¸: Bµi to¸n c©n b»ng, nghiÖm h÷u hiÖu yÕu, ®iÒu kiÖn tèi ­u, d­íi vi ph©n Clarke, Jacobian Clarke. Më ®Çu 1 Rp . KÝ hiÖu g = (g1 , ...gm ), h = (h1 , ..hr ), I = {1, ..., m} , J = {1, ..., r}. Víi tËp nhän trong hîp C¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ ®· thu hót sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc bëi K = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0(∀i ∈ I), hj (x) = 0(∀j ∈ J)}. ph¹m vi øng dông cña nã. C¸c ®iÒu kiÖn tèi ­u XÐt bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sau: cho c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ vµ T×m bµi to¸n c©n b»ng ®· ®­îc nghiªn cøu bëi nhiÒu x∈K sao cho T (x)(y − x) ∈ / −Q\{0} (∀y ∈ K). t¸c gi¶ (xem ch¼ng h¹n [4] - [7]). Cho ®Õn nay nhiÒu kÕt qu¶ chØ ®­îc thiÕt lËp cho c¸c bµi to¸n NÕu bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã rµng buéc tËp hoÆc cã h÷u hiÖu yÕu cña (1.1) nÕu rµng buéc bÊt ®¼ng thøc låi, kh¶ vi. intQ 6= ∅, vect¬ x∈K (1.1) ®­îc gäi lµ nghiÖm T (x)(y − x) ∈ / −intQ (∀y ∈ K). (1.2) Môc ®Ých cña bµi b¸o nµy lµ thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn Trong bµi nµy ta sÏ thiÕt lËp ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bÊt ®¼ng thøc kiÖn ®ñ tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña (1.1) biÕn ph©n vect¬ víi c¸c rµng buéc Lipschitz ®Þa d­íi ng«n ng÷ gradient suy réng Clarke vµ Jaco- ph­¬ng lo¹i ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc vµ ®iÒu bian suy réng Clarke. Chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÖn chÝnh quy Mangasarian - Fromovitz suy réng. kh¸i niÖm cÇn thiÕt trong gi¶i tÝch Lipschitz. C¸c ®iÒu kiÖn tèi ­u ®­îc thiÕt lËp d­íi ng«n ng÷ Cho hµm gi¸ trÞ thùc Clarke. f x¸c ®Þnh trªn Rn , Lipschitz ®Þa ph­¬ng t¹i x ¯ ∈ Rn . §¹o hµm theo ph­¬ng Clarke cña f t¹i x ¯ theo ph­¬ng v ®­îc x¸c ®Þnh Ph¸t triÓn bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ nh­ sau (xem [1]): gradient suy réng Clarke vµ Jacobian suy réng sÏ ®­îc nghiªn cøu trong bµi nµy. f 0 (¯ x; v) = lim sup x→¯ x t↓0 Gi¶ sö T n vµo kh«ng gian lµ ¸nh x¹ tõ R £(Rn , Rp ) gåm c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc n p tõ R vµo R ; g1 , ...gm , h1 , ..hr lµ c¸c hµm gi¸ n trÞ thùc x¸c ®Þnh trªn R ; Q lµ mét nãn låi ®ãng 0 f (x + tv) − f (x) . t Gradient suy réng Clarke cña f t¹i x ¯ ®­îc x¸c ®Þnh bëi  ∂f (¯ x) = ξ ∈ Rn :< ξ, v >≤ f 0 (¯ x; v), ∀v ∈ Rn , *Tel: 0934445889, e-mail: dinhhangch16tn@gmail.com 161Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trong ®ã < ., . > kÝ hiÖu tÝch v« h­íng trong Rn . MÖnh ®Ò 4.2[3] ®· chØ ra r»ng (I) vµ (II) t­¬ng ®­¬ng. f : Rn → Rr lµ hµm vect¬ Lipschitz ®Þa ph­¬ng t¹i x ¯, th× Jacobian suy réng Clarke cña f t¹i x ¯ ®­îc x¸c ®Þnh bëi (xem [1])   ∂J f (¯ x) = co lim ∇f (xi ) : xi → x ¯, xi ∈ S , NÕu i→∞ KÝ hiÖu Q∗ lµ nãn liªn hîp cña Q: Q∗ = {ξ ∈ R :< ξ, v >≥ 0, KÝ hiÖu T (¯ x)∗ ∀v ∈ Q} . lµ to¸n tö liªn hîp cña T (¯ x). B©y giê ta cã thÓ ph¸t triÓn ®iÒu kiÖn cÇn tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña (1.1). ∇f (xi ) lµ ma trËn Jacobi cña f t¹i ®iÓm xi cña f , S lµ tËp c¸c ®iÓm mµ f kh¶ vi FrÐchet, co kÝ hiÖu bao låi. Chó ý r»ng c¸c phÇn tö cña ∂J f (¯ x) lµ c¸c r × n - ma trËn, vµ trong ®ã kh¶ vi ∂J f (¯ x) ⊆ ∂f1 (¯ x) × ... × ∂fr (¯ x). Nh¾c l¹i r»ng d­íi vi ph©n cña hµm låi gi¸ trÞ thùc f x¸c ®Þnh trªn Rn ∀x ∈ X t¹i x ¯ ∈ Rn ®­îc x¸c ®Þnh bëi: §Þnh lÝ ¯+ 0 ∈ T (¯ x)∗ λ x ¯ th× (xem [1, MÖnh ®Ò 2.2.7]) ∂f (¯ x) = ∂C (¯ x). §iÒu kiÖn cÇn tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu Gi¶ sö I(¯ x) = {i ∈ I : f (x) = T (¯ x)(x − x ¯) vµ f1 (x) = f (x + x ¯). Khi ®ã f, f1 : Rn → p R , f (¯ x) = 0, f lµ ¸nh x¹ affine vµ f1 lµ ¸nh Chøng minh §Æt x¹ tuyÕn tÝnh. Theo §Þnh lÝ 3.1[4] vÒ v« h­íng hãa, tån t¹i hµm d­íi céng tÝnh thuÇn nhÊt d­¬ng l trªn Rp sao cho m·n y2 − y1 ∈ intQ th× liªn tôc nÕu f (¯ x) = 0 vµ l lµ hµm thuÇn nhÊt d­¬ng, cho x ¯ lµ nghiÖm cña bµi to¸n v« h­íng sau: Bëi v× nªn min l ◦ f (x), v0 ∈ Rn sao cho < ξi , v0 >< 0 (∀ξi ∈ ∂gi (¯ x), ∀i ∈ I(¯ x)), γv0 = 0 (∀γ ∈ ∂J h(¯ x)), víi bÊt k× γ ∈ ∂J h(¯ x), c¸c hµng ma trËn γ ®©y: Tån t¹i gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ I. (P 1) l◦f Do c¸c hµm Ta gäi ®©y lµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy (I). MÖnh ®Ò 2.2.6[1] ta suy ra Ta còng ®­a vµo ®iÒu kiÖn chÝnh quy (II): víi mäi schitz ®Þa ph­¬ng. µi ≥ 0(∀i ∈ I(¯ x)), ν ∈ Rn µ ¯i ≥ 0, kh«ng ®ång thêi b»ng vµ l ◦ f1 lµ mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 0 ∈ ∂(l ◦ f )(¯ x) + µi ∂gi (¯ x) + ν∂J h(¯ x). i∈I(¯ x) 162Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên låi liªn tôc, ¸p dông l◦f vµ l ◦ f ...