Nghiệm xấp xỉ bởi sai phân hữu hạn của một phương trình sóng chứa số hạng đạo hàm bậc bốn

Bài viết khảo sát một phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng đạo hàm cấp bốn. Trước tiên, chúng tôi phát biểu các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán được chứng minh bằng phương pháp Faedo-Galerkin và một số lý luận về tính compact. Tiếp theo, chúng tôi xét một trường hợp cụ thể của bài toán ban đầu và sử dụng sai phân hữu hạn để xây dựng một thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán trong trường hợp này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiệm xấp xỉ bởi sai phân hữu hạn của một phương trình sóng chứa số hạng đạo hàm bậc bốn HUFLIT Journal of Science RESEARCH ARTICLE NGHIỆM XẤP XỈ BỞI SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHỨA SỐ HẠNG ĐẠO HÀM BẬC BỐN Nguyễn Hữu Nhân1*, Lê Thị Mai Thanh2, Trần Trịnh Mạnh Dũng3 1Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Ngoại ngữ -Tin học TP.HCM 2KhoaCông nghệ thông tin, Trường Đại học Nguyễn Tất Thành 3Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học FPT nhannh1@huflit.edu.vn, ltmthanh@ntt.edu.vn, dungttm12@fe.edu.vnTÓM TẮT— Bài báo này khảo sát một phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng đạo hàm cấp bốn. Trước tiên, chúng tôiphát biểu các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán được chứng minh bằng phương pháp Faedo-Galerkin vàmột số lý luận về tính compact. Tiếp theo, chúng tôi xét một trường hợp cụ thể của bài toán ban đầu và sử dụng sai phân hữuhạn để xây dựng một thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán trong trường hợp này. Ngoai ra, chúng tôi cũng thiết lập cácbảng số liệu đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác theo số bước lặp và theo kích thước của lưới sai phân.Cuối cùng, chúng tôi vẽ một số hình minh họa của nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác theo một số lưới sai phân khác nhau.Từ khóa— Sai phân hữu hạn, nghiệm xấp xỉ, phương pháp Faedo-Galerkin, phương trình sóng phi tuyến bậc bốn. I. GIỚI THIỆUTrong bài báo này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho một phương trình sóng phi tuyến chứa đạohàm cấp bốn theo biến không gian được cho như dưới đây     u    g (t  s)u t utt  u xxxx   x, t , u x (t ) 2 ( x, s )ds x   (1.1) x 0 xx  f ( x, t , u, ut , u x , u xx ), 0  x  1, t  0, u (0, t )  u (1, t )  u xx (0, t )  u xx (1, t )  0, (1.2) u ( x, 0)  u0 ( x), ut ( x, 0)  u1 ( x), (1.3)trong đó u0 , u1 ,  , g , f là các hàm cho trước. Bài toán (1.1)-(1.3) là một sự tổng quát cho mô hình toán học mô tả độ lệch ngang của các dầm có giãn. Mô hìnhtoán học gốc được nghiên cứu bởi Woinowsky-Krieger [1] có dạng như sau:  utt   u xxxx    k  u x dx u xx  0, 2 0 L  (1.4)trong đó  là sự dịch chuyển dọc trục ban đầu được đo ở trạng thái không bị kéo căng và u ( x, t ) biểu thị cho độlệch ngang của dầm có chiều dài L với hai đầu được cố định. Sau này, có nhiều nghiên cứu về phương trình (1.4),chẳng hạn như công trình của Ball [2] về tính ổn định nghiệm, của Fit [3] về dáng điệu tiệm cận của nghiệm hoặccủa Gio và các cộng sự [4] liên quan đến tính hút toàn cục và tính ổn định mũ của nghiệm.Các phiên bản trong trường hợp nhiều chiều của phương trình (1.4) được biết đến với tên gọi là các phươngtrình bản Kirchhoff mô tả các dao động lớn của tấm bản mỏng. Công trình tiêu biểu gần đây có thể kể đến là côngtrình của Liu và các đồng nghiệp [5] cho phương trình bản Kirchhoff có dạng như sau:  tt  u   2u  M u 2 u  u  u  t t r 1 ut  u p 1 u,   u u   0, (1.5)   u ( x, 0)  u0 ( x), ut ( x, 0)  u1 ( x).  Các tác giả đã chứng minh tính bùng nổ nghiệm của bài toán (1.5) trong trường hợp năng lượng ban đầu cao tùyý. Trong khi đó, Liao và Li [6] đã sử dụng các kỹ thuật về bất đẳng thức để thiết lập được thời gian sống củanghiệm của bài toán (1.5) tại mức năng lượng ban đầu thấp. Ngoài ra, các tác giả cũng chứng minh được sự tồntại nghiệm toàn cục và tính tắt dần mũ của nghiệm bài toán (1.5). Một số các kết quả khác gầ ...