Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes

Bài viết Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes trình bày phương pháp POD là một phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ xác định một hệ cơ sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này sẽ xác định một không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một mô hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIÊN CỨU NGHIỆM XẤP XỈ CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Nguyễn Thị Lý Trường Đại học Thủy lợi, email:lycs2@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG Trong đó X  H 01 () 2 , M  L20 () . Phương pháp POD là một phương pháp a(u, v )    u.vdxdy ,tuyến tính trong đó ta sẽ xác định một hệ cơ sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này sẽ xác định một 1 2  v j w v không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một mô a1  u, v, w    ui w j  ui xj j v j dxdy 2  i , j 1  xihình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin ([1]). i Phép chiếu Galerkin trên hệ các véc tơ cơ sở với u, v, w  X , vàPOD đưa vào trong hệ Navier-Stokes sẽ dẫn b(q, v )   qdiv vdxdy .đến một hệ các phương trình vi phân bậc hai. 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để tìm nghiệm phương pháp số cho Bài toán II, ta sẽ rời rạc hóa Bài toán II. Chúng ta Cho    2 là miền liên thông, bị chặn. sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn choXét hệ phương trình không dừng Navier - biến không gian và dùng sơ đồ sai phân hữuStokes. hạn đối với đạo hàm theo thời gian. Cho L Bài toán I. là số nguyên dương, kí hiệu bước thời gian Tìm u  (u1 , u2 ) , p sao cho với T  0 bởi k  T / L ( T là toàn bộ thời gian):u t  u  (u  )u  p  f trong   (0, T ) t ( n )  nk ; 0  n  L ;divu  0 trong   (0, T ) (u nh , phn )  X h  M h có xấp xỉ tương ứngu( x, y, t )  φ( x, y, t ) trên   (0, T ) theo phương pháp phần tử hữu hạn làu( x, y, 0)  φ( x, y, 0) trong  (u (t ( n ) ), p (t ( n ) )  (u n , p n ) . Do đó dùng sơ đồ Trong đó u biểu diễn véc tơ vận tốc, p là nửa ẩn Euler cho thời gian và phương phápáp suất,  là hằng số (nghịch đảo của số phần tử hữu hạn để đưa bài toán I trở thànhReynolds), f  ( f1 , f 2 ) là trọng lượng, bài toán sau đây:φ( x, y, t ) là hàm véc tơ. Bài toán III Ta viết lại Bài toán I dưới dạng bài toán Tìm (u nh , phn )  X h  M h sao chokhác như sau: Bài toán II. (u nh , v h )  ka (u nh , v h )  Tìm (u, p)  H 1 (0, T ; X )  L2 (0, T ; M ) sao n 1  ka1 (u h , u h , v h )  kb( ph , v h ) n ncho với mọi t  (0, T ) ,  n 1  k ( f , v h )  (u h , v h ) v h  X h n (ut , v )  a (u, v )  a1 (u, u, v )  b( p, v )  (f , v )  b(qh , u h )  0 qh  M h n  v  X  u 0  0 trong  b(q, u)  0 q  M  h u ( x, 0)  0 trong  ở đó 1  n  L . 75Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-83. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Xét ma trận K  ( K ij )  R  tương ứng Gọi  với snapshots U i i 1 xác định bởi  X h  X ...