Về nghiệm của hệ các luật bảo toàn

Bài viết Về nghiệm của hệ các luật bảo toàn nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán giá trị ban đầu đối với hệ 2 luật bảo toàn. Đối với hệ được xét, báo cáo sẽ đưa ra một tiêu chuẩn để chọn nghiệm entropy cho bài toán Riemann
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về nghiệm của hệ các luật bảo toàn Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 VỀ NGHIỆM CỦA HỆ CÁC LUẬT BẢO TOÀN Nguyễn Hữu Thọ Bộ môn Toán học - Khoa CNTT - Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG ở đây y  y0 (x, t) là điểm cực tiểu: Báo cáo này sẽ nghiên cứu một trường hợp y  x  y  đặc biệt của bài toán giá trị ban đầu đối với min   u 0 (z)dz  tf *   ,  y     t   hệ 2 luật bảo toàn. Đối với hệ được xét, báo cáo sẽ đưa ra một tiêu chuẩn để chọn nghiệm và f * là liên hợp lồi của f (u) , M( ¡ ) là entropy cho bài toán Riemann. Chúng tôi sẽ không gian độ đo bị chặn trên ¡ . xét dạng ma trận của bài toán và sử dụng sơ Đối với bài toán Riemann, tức là khi dữ đồ sai phân hữu hạn của Lax [1] đối với bài toán giá trị ban đầu để xây dựng công thức kiện ban đầu (2) có dạng hiện cho nghiệm xấp xỉ, và khi đó giới hạn (u , v ), x  0 của nghiệm xấp xỉ sẽ cho ta nghiệm của bài  u(x,0), v(x,0)    L L (3) (u R , v R ), x  0 toán ta đang xét. Lefloch đã chỉ ra rằng, bài toán sẽ có nhiều 2. NỘI DUNG BÁO CÁO hơn một nghiệm trong trường hợp u L  u R . Bây giờ chúng ta xét hệ 2 luật bảo toàn: 2.1. Đặt vấn đề Trong bài báo [2] của mình năm 1990,    u t  log(aeu  be u )  0 x Lefloch đã xét hệ các luật bảo toàn dạng  u  ae  be  u  (4) u t   f (u)  x  0  v t   u u  v   0, t  0, x  ¡  (1)   ae  be x  v t   a(u)v  x  0 , t  0, x  ¡ với điều kiện ban đầu: với điều kiện ban đầu: (u , v ), x  0 u(x;0)  u 0 (x), v(x,0)  v0 (x) , (2)  u(x,0), v(x,0)    L L (5) (u R , v R ), x  0 trong đó a(u)  f (u) và f : ¡  ¡ là hàm lồi ở đây a, b, uL, uR là các hằng số đã biết, ngặt. Khi các dữ kiện ban đầu u  u(x, t), v  v(x, t) là các ẩn hàm, và sẽ đề u 0  L1 ( ¡ )  BV( ¡ ) xuất một cách chọn duy nhất nghiệm. Chúng và: v0  L ( ¡ )  L1 ( ¡ ) , ta sẽ sử dụng sơ đồ xấp xỉ mà Lax [1] đã sử Lefloch đã chỉ ra rằng, bài toán (1) - (2) có dụng khi chọn nghiệm entropy đối với luật ít nhất một nghiệm: bảo toàn vô hướng. (u, v)  L ( ¡  , BV( ¡ ))  L ( ¡  , M( ¡ )) Trước hết chúng ta viết lại (5) dưới dạng được xác định bởi: ma trận:   x  y0 (x, t)  A t  log(aeA  be A )   0 , (6) u(x, t)  (f *)  t  x     ở đây:  y0 (x,t)   v(x, t)    v (z)dz  u 0  x    0  A . (7)    v u 154 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 Xét x và t là cỡ lưới không gian và thời gian, đặt   lim u  (x, t), v  (x, t)   u(x, t), v(x, t)  0 A nk ; A  kx, nt  , tồn tại theo nghĩa phân bố và  u(x, t), v(x, t)  (8) được cho dưới dạng hiện với công thức sau: k  0, 1, 2,..., n  0,1, 2,... (i) Khi u L  u R , thì và theo Lax, chúng ta sẽ nhận được sơ đồ sai phân:  u(x, t), v(x, t)   A nk  A nk 1   {u L  (u R  u L )H(x  st), t  (9) ...