Nghiên cứu phương pháp POD trên tập hợp các kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy

Bài viết Nghiên cứu phương pháp POD trên tập hợp các kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy nghiên cứu phương pháp POD (proper orthogonal decomposition) trên tập hợp các kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy, thường là tập con của không gian hữu hạn chiều Rm, xuất phát từ phương pháp SVD (singular value decomposition) của ma trận hình chữ nhật.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu phương pháp POD trên tập hợp các kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP POD TRÊN TẬP HỢP CÁC KẾT QUẢ CỦA MÔ HÌNH SỐ TÍNH TOÁN DÒNG CHẢY Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU U ∈ m×m với các cột {ui }i =1 và V ∈ R n×n với m Phương pháp POD là một phương pháp các cột {vi }i =1 sao cho: nxấp xỉ tối ưu từ một hệ cơ sở trực chuẩnvuông góc. Phương pháp POD được áp dụng ⎡ D 0⎤ U T YV = ⎢ ⎥ = Σ ∈ m×n (2)trong nhiều lĩnh vực như: xử lý ảnh, nghiên ⎣ 0 0⎦cứu cấu trúc của dòng chảy rối [1],… Phương ở đó D = diag (σ 1 ,...,σ d ) ∈ d ×d . Hơn nữapháp POD là một phương pháp tuyến tính {ui }i=1 và {vi }i=1 thỏa mãn: d dtrong đó ta sẽ xác định một hệ sơ sở trựcchuẩn để xấp xỉ (một cách tối ưu) các dữ liệu Yvi = σ iui và Y T ui = σ i vi , i = 1,..., d (3)ban đầu là tập hợp rời rạc hoặc liên tục có cỡ Tlớn (các kết quả thực nghiệm hay là các kết Chúng là các véc tơ riêng của YY vàquả số tại các thời điểm khác nhau). Hệ cơ sở Y Y với giá trị riêng là λi = σ i 2 > 0 . Các véc Tnày sẽ xác định một không gian cỡ nhỏ hơn tơ {ui }i =d +1 và {vi }i =d +1 là các véc tơ riêng của m nđể xây dựng một mô hình rút gọn nhờ phépchiếu Galerkin. Phép chiếu Galerkin trên hệ YY T và Y T Y ứng với các giá trị riêng bằngcác véc tơ cơ sở POD đưa vào trong hệ không.Navier-Stokes sẽ dẫn đến một hệ các phương Từ (2) ta suy ra:trình vi phân bậc hai. Trong bài báo này tác Y = U ΣV T .giả sẽ nghiên cứu phương pháp POD (properorthogonal decomposition) trên tập hợp các 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨUkết quả của mô hình số tính toán dòng chảy, Ta có thể viết lại Y dưới dạng:thường là tập con của không gian hữu hạn Y = U d Σ (V T ) dchiều R m , xuất phát từ phương pháp SVD (4)(singular value decomposition) của ma trận ở đó U d ∈ m×d ; V d ∈ n×d xác định bởi:hình chữ nhật. U ijd = U ij , 1 ≤ i ≤ m;1 ≤ j ≤ d ,2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Vijd = Vij , 1 ≤ i ≤ n;1 ≤ j ≤ d . Cho Y = [ y1 ,..., yn ] là ma trận cỡ m × n có Đặt B d = D (V d ) ∈ d ×n khi đó (4) được Thạng là d = min {m, n} . Trung bình các cột viết lại là:của Y được định nghĩa như sau: Y = U d Bd . 1 n y = ∑ yj (1) Ta có: n j =1 ( )u. d d y j = ∑ BijdU .,di = ∑ D (V d ) T Theo phương pháp SVD tồn tại các số ithực σ 1 ≥ ... ≥ σ d > 0 và các ma trận trực giao i =1 i =1 ij 165Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8Vì U là trực giao nên ta có: Do đó YY T có m giá trị riêng không âm ( ) u. ...