Nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán mô hình hóa trạm điện

Bài viết xem xét các hệ phương trình vi phân (PTVP) cải tiến đạo hàm riêng phụ thuộc vào một biến không gian. Giả thiết rằng, các ma trận dưới đạo hàm của hàm số véc tơ cần tìm đều suy biến trên tất cả miền xác định. Những hệ như vậy được gọi là hệ PTVP đại số đạo hàm riêng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán mô hình hóa trạm điệnCông nghệ thông tin NGHIÊN CỨU TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VIPHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN MÔ HÌNH HÓA TRẠM ĐIỆN Nguyễn Khắc Điệp1*, Viktor Filimonovich Chystyakov2 Tóm tắt: Bài báo xem xét các hệ phương trình vi phân (PTVP) cải tiến đạo hàm riêng phụ thuộc vào một biến không gian. Giả thiết rằng, các ma trận dưới đạo hàm của hàm số véc tơ cần tìm đều suy biến trên tất cả miền xác định. Những hệ như vậy được gọi là hệ PTVP đại số đạo hàm riêng. Trong bài báo còn giới thiệu khái niệm về hệ chia tách. Từ hệ này ta có thể tìm ra cấu trúc nghiệm chung của PTVP đại số và xác định tính có nghiệm của bài toán biên ban đầu trong nhiều trường hợp. Và cuối cùng là giới thiệu mô hình mô tả trạm điện với thành phần cụ thể là bộ trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu, được viết bằng PTVP đại số đạo hàm riêng.Từ khóa: Phương trình vi phân đại số; Đạo hàm riêng; Hyperpolic; Hệ suy biến; Chỉ số; Mô hình hóa. 1. MỞ ĐẦU Xem xét hệ phương trình đạo hàm riêng u u A( x , t , u )  B ( x, t , u )  C( x , t , u )  f ( x , t ), (1) t x 2 ( x , t )  U =X  T  R , X  [ x0 , x1 ], T  t0 , t1  , Trong đó, A(x,t,u), B(x,t,u), C(x,t,u) là các ma trận có kích thước ( n  n ) ,và u  u ( x, t ), f ( x, t ) lần lượt tương ứng là hàm véc tơ cần tìm và cho trước. Giả sử rằng, hệ (1) thỏa mãn det A  0, det B  0, det( A  B )  0 ( x, t )  U, u  R n ,  , (2)trong đó λ- tham số vô hướng (trong trường hợp tổng quát là tham số phức). Trong bài báo cũng xem xét các điều kiện biên ban đầu u ( x, t0 )   ( x ), u ( x0 , t )   (t ), ( x , t )  U , (3)trong đó, các hàm véc tơ cho trước  ( x ),  (t ) là những hàm khả vi liên tục. Hệ phương trình dạng (1) thỏa mãn điều kiện (2) được gọi là hệ suy biến khôngthuộc dạng Cauchy–Kowalevski. Trong các tài liệu toán học quốc tế thường sửdụng thuật ngữ “PTVP đại số đạo hàm riêng” [4]. Ở các trường hợp đặc biệt, hệphương trình dạng (1) có mối quan hệ lẫn nhau với các phương trình đạo hàmriêng, PTVP thường và phương trình đại số. Vào nửa sau của thế kỷ XX, các côngtrình nghiên cứu của Sergei Lvovich Sobolev [1] bắt đầu xuất hiện. Các nghiêncứu này đã chiếm một vị trí quan trọng trong lý thuyết PTVP, cho nên những hệnhư vậy còn được gọi là hệ phương trình dạng Sobolev [2]. Hệ này có ý nghĩa lýthuyết và thực tiễn vô cùng to lớn. Hiện nay trong hầu hết các tài liệu chuyên sâu112 N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được … mô hình hóa trạm điện.”Nghiên cứu khoa học công nghệđều đề cập đến vấn đề về tính giải được của bài toán biên ban đầu đối với hệ suybiến, tuy nhiên phần lớn là xem xét các trường hợp của hệ có ma trận là hằng số vàvấn đề luận chứng cho các phương pháp giải số chưa được nghiên cứu chuyên sâu.Bên cạnh đó, việc tìm phương pháp giải số cho các hệ cụ thể không thuộc dạngCauchy–Kowalevski sẽ có ý nghĩa thực tiễn vô cùng to lớn trong nhiều lĩnh vựcnhư: thủy động lực học (phương trình Navier-Stokes), nhiệt lực học, kỹ thuật điện,v.v..(xem [1- 3, 9, 14]) . Trong hơn thập kỉ qua, việc áp dụng phương pháp nghiên cứu trong lý thuyết hệPTVP thường với ma trận suy biến dưới đạo hàm bậc cao của hàm véc tơ cần tìm(gọi là PTVP đại số) trở nên phổ biến và ngày càng phát triển [5, 7, 11, 13]. Trong khuôn khổ bài báo này, nhóm nghiên cứu sẽ trình bày khái niệm vềPTVP đại số đạo hàm riêng chia tách. Qua đó từ hệ này, giúp ta tìm ra cấu trúcnghiệm chung của PTVP đại số và xây dựng tính có nghiệm của bài toán biên banđầu trong nhiều trường hợp. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu các mô hình trong kỹthuật được biểu diễn dưới dạng PTVP đại số đạo hàm riêng, đó là mô hình của bộtrao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu. Các kí hiệu, khái niệm, định nghĩa được sử dụng theo các tài liệu chuẩn chungtừ các nhà nghiên cứu của Nga trong lĩnh vực PTVP [1, 6-15]. 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG CHIA TÁCH Dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm và khẳng định cần thiết cho các phầnsau. Xem xét hệ 1 x : A( x, t ) Dt u  B( x, t )u  f ( x, t ), ( x, t )  U, (4)trong đó, A( x, t ), B( x, t )  (n  n) - các ma trận, biến x được xem như là tham số. k Định nghĩa 1. Toán tử  k :  L j ( x, t ) Dt j có tính chất j 0  k   A( x, t ) Dt  B( x, t ) u  Dt u   k [B]u u  Ck 1 (U), trong đó L j ( x, t )  (n  n) - các ma trận từ C(U) , gọi là toán tử chính quy tráicủa hệ (4), số k nhỏ nhất có thể được gọi là chỉ số của hệ (4). Bổ đề 1. Nếu như xác định được chỉ số k của hệ (4) thì xảy ra một trong 2trường hợp sau: det A( x, t )  0 ( x, t )  U khi k  0 hoặcdet A( x, t )  0, ( x, t )  U khi k  0 . Định lý 1. Giả sử: 1) trong hệ (4) thỏa A( x, t ), B( x, t )  C2 n 1 (U), f  Ck (U);2) với hệ (4) tồn tại toán tử chính quy trái. Khi đó hệ có nghiệm với bất kì f ( x, t )và nghiệm tổng quát có thể được viết dưới dạng sauTạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 113 Công nghệ thông tin u  V ( x, t )c( x)  Wf ( x, t ), Wf ( x, t )  t k 1 (5)   K ( x, t, s) f ( x, s)ds  C j ( x, t )Dt j f , ...