Nhìn về một đẳng thức tích phân

Bài viết này, trình bày sự xâu chuỗi các hệ quả của một đẳng thức tích phân liên hệ giữa hai hàm số có đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng cùng phương với trục tung. Mời bạn đọc cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nhìn về một đẳng thức tích phânTạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phạm Quốc Phong_____________________________________________________________________________________________________________ NHÌN VỀ MỘT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN PHẠM QUỐC PHONG* TÓM TẮT Bài viết này, trình bày sự xâu chuỗi các hệ quả của một đẳng thức tích phân liên hệgiữa hai hàm số có đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng cùng phương với trục tung. Từ khóa: tích phân, tích phân đặc biệt, xâu chuỗi, đồ thị đối xứng. ABSTRACT A glance at an integration equality This paper presents the series of corollaries of an integration equality which relatesto two functions with the symmetrical graphs to each other across a straight line parallelto the vertical axis. Keywords: integration, specific integration, series of, symmetrical graphs.1. Mở đầu Xâu chuỗi các bài toán là một yêu cầu vô cùng cần thiết trong dạy và học toán.Chỉ khi nào xâu chuỗi được các bài toán, tìm ra bài toán gốc, ta mới thấy được đườnglối chung và bản chất của phương pháp giải. Bài viết này đề cập đến xâu chuỗi các hệquả của một đẳng thức tích phân liên hệ giữa hai hàm số có đồ thị đối xứng với nhauqua đường thẳng song song với trục tung.2. Tính chất & hệ quảTính chất. Với mọi hàm số f(x) liên tục trên [a; b] ta luôn có b b ∫ f ( x)dx = ∫ f (a + b − x)dx a a (Dễ dàng chứng minh định lí bằng cách đổi biến x = a + b − t.)Chú ý. Trên đoạn [a; b], đồ thì hai hàm số y = f(x) và y = f(a + b − x) đối xứng với nhau a+bqua đường thẳng x = (xem hình vẽ) 2 bLời bình 1. Tính chất trên cho ta cách nghĩ thay vì tính tích phân ∫ f ( x)dx , ta có thể tính a btích phân ∫ f (a + b − x)dx , bằng cách đổi biến x = a + b − t. a* Nhà giáo Ưu tú, nguyên GV Trường THPT Hồng Lĩnh tỉnh Hà Tĩnh 141Ý kiến trao đổi Số 36 năm 2012_____________________________________________________________________________________________________________ y y = f(a + b− x) y = f(x) A B A B O a a+b b x 2 Từ chính chất trên ta thu được các hệ quả sau :Hệ quả 1. Cho a, b ∈ , a ≠ 0. Với mọi hàm số f liên tục trên [−1; 1] ta đều có π π +b +b 4a 4a π ∫ f (sin ax )d x = π ∫ f (cos ax )d x . −b −b 4a 4aHệ quả 2. Với mọi hàm số f liên tục trên [a; b], với mọi p, q∈ ,k∈ ta đều có b b pf ( x) + qf (a + b − x) pf (a + b − x) + qf ( x) ∫a [f ( x) + f (a + b − x)]k dx = ∫a [f ( x) + f (a + b − x)]k dx Đặc biệt khi k = 1 ta có : b b pf ( x) + qf (a + b − x) pf (a + b − x) + qf ( x) ( p + q)(b − a) ∫ a f ( x) + f (a + b − x) dx = ∫ a f ( x) + f (a + b − x) dx = 2 ...