Ôn tập Cơ học lượng tử

Học phần cơ học lượng tử nâng cao là môn học bắt buộc đối với học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý và chuyên ngành Vật lý Lý thuyết-Vật lý Toán, nó nhằm bổ sung và nâng cao một số kiến thức cơ học
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập Cơ học lượng tử ÔN T P CƠ H C LƯ NG T§1. Hàm sónga.Tiên ñ : Tr ng thái c a h t vi mô ñư c mô t b ng m t hàm Ψ (r , t ) nói chung là ph c ñư c g ilà hàm sóng.b. Ý nghĩa V t lý : ð i lư ng | Ψ (r , t ) |2 dV cho ta xác su t tìm th y h t trong y u t th tích dV baoquanh ñi m r vào th i ñi m t .ð i lư ng : ρ(r , t ) =| Ψ (r , t ) |2 ñư c g i là m t ñ xác su t.c. ði u ki n chu n hoá : Xác su t tìm th y h t trong th tích V h u h n b ng P(V , t ) = ∫ | Ψ (r , t ) |2 dV . N u mi n l y tích phân m r ng ra toàn không gian (V → ∞) thì giá tr c a Vtích phân tương ng s là xác su t tìm th y h t trong toàn không gian và ph i b ng 1 (bi n c ch cch n). Do ñó : ∫ | Ψ (r , t ) |2 dV = 1 (ñi u ki n chu n hoá). ∞ trong các tr ng thái ñư c mô t b i các hàm sóng Ψ1 và Ψ 2 thìd. Nguyên lý ch ng ch t. N u hh cũng có th trong tr ng thái mô t b i hàm sóng c1Ψ1 + c2 Ψ 2 (c1 , c2 : const ) .H qu : Các phương trình mà hàm sóng tho mãn ph i là các phương trình tuy n tính.§2. Toán t .a. ð nh nghĩa : Toán t là m t phép toán khi tác d ng lên m t hàm nào ñó trong không gian hàm ñãcho s cho ta m t hàm khác cũng thu c không gian hàm ñó. ˆˆ ˆ ˆb. Các phép toán trên toán t : + T ng : ( A + B)ψ = Aψ + Bψ .+ Tích : ( AB )ψ = A( Bψ) . Nói chung AB ≠ BA . ð i lư ng  A, B  = AB − BA ñư c g i là giao hoán t ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ   ˆ ˆc a A và B . ˆc. Phương trình tr riêng c a toán t : N u F ψ(q) = f ψ(q ) (1) ( f : const ) thì ψ (q ) ñư c g i là ˆ ˆhàm riêng c a toán t F ng v i tr riêng f còn (1) là phương trình tr riêng c a F . ˆd. Toán t tuy n tính. Toán t F ñư c g i là toán t tuy n tính n u :   F (c1ψ1 + c2 ψ 2 ) = c1F ψ1 + c2 F ψ 2 ( (c1 , c2 : const ) hay t ng quát F ∑ cn ψ n  = ∑ cn F ψ n (cn : const ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   n   ne. Toán t hermite ( toán t t liên h p). ˆ ˆ F , ký hi u F * là m t toán t , + Toán t liên h p ph c : Toán t liên h p ph c v i toán t ˆ ˆ ˆ ˆsao cho : n u F ψ = ϕ thì F *ψ* = ϕ* , do ñó : ( F ψ)* = F *ψ* . ɶ ˆ ˆ + Toán t chuy n v : Toán t chuy n v c a toán t F , ký hi u F là m t toán t sao cho : ɶ ɶɶ∫ ψ1 F ψ 2 dq = ∫ ψ 2 F ψ1dq . Khi ñó, ta có : AB = BA ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ liên h p hermite v i toán t F , ký hi u F + là m t toán t , sao cho : ˆ ˆ + Toán t ɶ∫ψF ψ 2 dq = ∫ + ˆ ˆ* ψ 2 F *ψ1 dq , như th ta có th vi t m t cách hình th c : F + = F * ˆ ˆ * 1 ˆ + Toán t hermite (toán t t liên h p) : Toán t F ñư c g i là toán t hermite hay toán t tliên h p n u tho mãn h th c : ∫ ψ1 F ψ 2 dq = ∫ ψ 2 F *ψ1 dq , khi ñó ta có th vi t F = F + *ˆ ˆ* ˆˆf. Các tính ch t c a toán t hermite. Tr riêng c a toán t hermite là th c . ˆ ng v i hàm riêng ψ n . Khi ñó ta Ch ng minh : Gi s f n là tr riêng c a toán t hermite Fcó : F ψ n = f n ψ n ⇒ ∫ ψ* F ψ n dq = f n ∫ ψ* ψ n dq (1) . L y liên h p ph c hai v bi u th c (1) ta ñư c ˆ ...