Ôn tập kiến thức Đại số 10: Bất đẳng thức, bất phương trình

Bất đẳng thức, bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, bất phương trình bậc nhất hai ẩn, tam thức bậc hai,... là những nội dung chính trong chương 4 "Bất đẳng thức bất phương trình" trong chương trình Đại số 10. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập kiến thức Đại số 10: Bất đẳng thức, bất phương trìnhTrần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương 4. Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình http://www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME&MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACEChương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 2 Chương 4 . Bất Đẳng Thức . Bất Phương Trình § 1. Bất đẳng thứcA. Tóm tắt giáo khoa . 1. A > B Ù A – B > 0 ; A < B Ù A – B < 0 A ≥ B Ù A – B ≥0 ; A ≤ B Ù A – B ≤ 0 2. Tính chất : (a) A > B và B > C => A > C (b) A > B Ù A + C > B + C ⎧A.C > B.C nếu C > 0 (c) A > B Ù ⎨ nếu C < 0 ⎩A.C < B.C (d) Nếu A, B > 0 : A > B Ù A> B A>BÙ 3A>3B ⎧A > B (e) ⎨ => A + C > B + D ⎩C > D ⎧A > B > 0 (f) ⎨ => AC > BD ⎩C > D > 0 3. Bất đẳng thức Cô-si : a+b * Định lí : Với mọi a , b ≥ 0 : ab ≤ 2 Đẳng thức xảy ra Ù a = b * Hệ quả : 1 • a+ ≥2 a • Nếu a , b ≥ 0 và a + b = s thì giá trị lớn nhất của ab là s2 / 4 khi a = b • Nếu a , b ≥ 0 và ab = p thì giá trị nhỏ nhất của a + b = 2 p khi a = b 4.Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. * |x| ≤ a Ù - a ≤ x ≤ a ⎡x ≥ a * |x| ≥ a Ù ⎢ ⎣ x ≤ −a * |a + b| ≤ |a| + |b| ; |a - b| ≥ ||a| - |b||B. Giải toán .Dạng 1 : Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương. Các phép biến đổi tương đương (b) , (c) , (d) thừơng được dùng để biến đổi bất đẳng thứccần chứng minh A ≥ B tương đương với C ≥ D , cuối cùng dùng định nghĩa :C ≥ D Ù C – D ≥ 0.Ví dụ : Chứng minh các bất đẳng thức sau : a) 2(a3 + b3 ) ≥ (a + b)(a2 + b2 ) ∀ a , b và a + b > 0 2 2 b) 4x + y ≥ 4x + 4y - 5 , ∀ x, y c) x2 – 4xy + 5y2 + 2x – 8y + 5 ≥ 0 , ∀ x, y d) x − 1 + 9 − x ≤ 4 , ∀ x ∈ [1 ; 9] www.saosangsong.com.vnChương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 3Giải :a) Bất đẳng thức cần CM Ù 2(a3 + b3 ) – (a + b)(a2 + b2 ) ≥ 0 (định nghĩa) Ù (a + b)[2(a2 + b2 – ab) - (a2 + b2 )] ≥ 0 Ù (a + b)(a2 + b2 – 2ab) ≥ 0 Ù (a + b)(a – b)2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a + b > 0 và (a – b)2 ≥ 0 b) Bất đẳng thức cần CM Ù (4x2 – 4x + 1) + (y2 – 4y + 4) ≥ 0 Ù (2x – 1)2 + (y – 2)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) c) Bất đẳng thức cần CM Ù x2 – 2(2y – 1)x + 5y2 – 8y + 5 ≥ 0(viết thành đa thức bậc 2 theo x , với hệ số là y) Ù [x2 – 2(2y - 1)x + (2y – 1)2 ] – (2y – 1)2 + 5y2 – 8y + 5 ≥ 0 (thêm bớt số hạng đểđưa về hằng đẳng thức a 2 – 2ab + b2 ) Ù [x – 2y + 1]2 + y2 – 4y + 4 ≥ 0 ( rút gọn ) Ù ( x – 2y + 1)2 + (y – 2)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) d) Hai vế đều dương , bình phương hai vế , ta được bất đẳng thức tương đương :( x − 1 + 9 − x ) 2 ≤ 16 Ù(x – 1) + (9 – x) + 2 (x − 1)(9 − x) ≤ 16 ( khai triển) Ù 2 (− x 2 + 10x − 9) ≤ 8 ( rút gọn ) Ù − x 2 + 10x − 9 ≤ 4 ( nhân hai vế cho ½ ) Ù - x2 + 10x – 9 ≤ 16 ( bình phương hai vế ) Ù x2 – 10x + 25 ≥ 0 ( rút gọn ) Ù (x – 5)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng )Dạng 2 : Chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô- si a+b Sử dụng một trong các dạng : ab ≤ ; a + b ≥ 2 ab 2 a 2 + b2 Hoặc các dạng tương đương : a2 + b2 ≥ 2ab ; ab ≤ (2 bất đẳng thức này đúng với 2mọi a, b )Ví dụ 1 : CMR : x−4 1 a) (x − 1)(5 − x) ≤ 2 , ∀ x ∈ [1 ; 5] b) ≤ , ∀x ≥ 4 x+5 6 9 4x 2 + 8x + 1 c) x + ≥ 7 , ∀x > 1 ...