Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức sau đây nhằm ôn tập lại kiến thức lý thuyết, cũng như các dạng bài tập của chuyên đề này giúp các bạn ôn thi Đại học hiệu quả.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức[Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨCI. Một số ghi nhớ*Định nghĩa: a  b  a  b  0 .* a  b, b  c  a  c*a b acbc* a  b, c  d  a  c  b  d* a  b, c  0  ac  bc* a  b, c  0  ac  bc* a  b  0, c  d  0  ac  bd* a  b, c  d  0  ac  bd  0* a  b  0  a n  bn n  N* a  b  a n  bn n  N , n lẻ* a  1 a  a n m n  m* 0  a  1 a  a n m n  m* a 2n  0, a  R, n  N , dấu = xảy ra khi a=0* (a  b)  4ab, 2 a, b  R , dấu = xảy ra khi a  b (tương ứng)* a  ab  b  0, 2 2 a, b  R , dấu = xảy ra khi a  b  0* | a | a, a  R , dấu = xảy ra khi a  0 hoặc a  0 (tương ứng)* | a  b || a |  | b |, a, b  R , dấu = xảy ra khi ab  0 hoặc a.b  0 (tương ứng)* | a  b ||| a |  | b ||, a, b  R , dấu = xảy ra khi ab  0 hoặc a.b  0 (tương ứng)* | sin x | 1, | cos x | 1        * | a  b || a |  | b |, a, b dấu = xảy ra khi a  kb , k  0.        * | a  b || a |  | b |, a, b dấu = xảy ra khi a  kb , k  0.        * | a  b ||| a |  | b ||, a, b dấu = xảy ra khi a  kb , k  0.        * | a  b ||| a |  | b ||, a, b dấu = xảy ra khi a  kb , k  0.* Bất đẳng thức CôsiCho n số không âm a1 , a2 ,..., an khi đó ta có a1  a2  ...  an  nn a1a2 ...an ; dấu = xảy rakhi a1  a2  ...  an .* Bất đẳng thức BunhiacôpxkiCho hai dãy số a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn khi đó ta có (a1b1  a2b2  ...  anbn )2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) ; a a adấu = xảy ra khi 1  2  ...  n . b1 b2 bnTrường hợp đặc biệt: với mọi số thực x, y, z ta có x2  y2  x  y  2* ( x  y )(1  1 )  x.1  y.1   2  2 2 2 2 2  2 [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)dấu = xảy ra khi x  y . x2  y 2  z 2  x  y  z  2* ( x  y  z )(1  1  1 )  x.1  y.1  z.1   2  2 2 2 2 2 2 3  3 dấu = xảy ra khi x  y  z .II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức1.Phương pháp sử dụng định nghĩaĐể chứng minh a  b ta chứng minh a  b  0 .Ví dụ 1: Với mọi số thực x, y, z. Chứng minh rằng: a. x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx b. x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx c. x 2  y 2  z 2  3  2( x  y  z) d. x4  y 4  z 4  xyz ( x  y  z) Hướng dẫn giải: Ta xét hiệu 1 x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  (2 x 2  2 y 2  2 z 2  2 xy  2 yz  2 zx) 2 a. 1  [( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 ]  0 x, y, z  R. 2 Dấu “=” xảy ra khi x  y  z . b.Ta xét hiệu x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx  ( x  y  z)2  0 x, y, z  R . Dấu “=” xảy ra khi x  y  z . c.Ta xét hiệu x 2  y 2  z 2  3  2( x  y  z)  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 x, y, z  R . Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  1 . d.Ta xét hiệu x 4  y 4  z 4  xyz ( x  y  z )  x 4  y 4  z 4  x 2 yz  xy 2 z  xyz 2  2 x 4  2 y 4  2 z 4  2 x 2 yz  2 xy 2 z  2 xyz 2  1 2 1 1   ( x 2  yz ) 2  ( y 2  xz ) 2  ( z 2  xy ) 2  [( x 2  y 2 ) 2  ( y 2  z 2 ) 2  ( z 2  x 2 ) 2 ]  0 2 2  với mọi số thực x, y, z. Dấu “=” xảy ra khi x  y  z . Ví dụ 2: Với mọi số thực a, b, c, d. ...