Phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng

Nội dung bài viết là trình bày phép biến đổi Laplace thuận (tìm ảnh của hàm) và phép biến đổi Laplace ngược (tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh), phép nhân chập (tích chập) các hàm (ảnh của đạo hàm và tích phân hàm nguyên mẫu). Từ đó trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace vào việc giải phương trình vi phân và tích phân. Mỗi phần đều có một số ví dụ minh họa.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 1 - 13 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nguyễn Xuân Vui1 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Nội dung bài báo là trình bày phép biến đổi Laplace thuận (tìm ảnh của hàm) và phép biến đổi Laplace ngược (tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh); Phép nhân chập (tích chập) các hàm (ảnh của đạo hàm và tích phân hàm nguyên mẫu). Từ đó trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace vào việc giải phương trình vi phân và tích phân. Mỗi phần đều có một số ví dụ minh họa. Từ khóa: Biến đổi Laplace, phương trình tích phân, phương trình vi phân, tích chập. 1. Mở đầu Biến đổi Laplace là biến đổi tích phân. Biến đổi Laplace cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm và tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số. Vì vậy, phép biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, qua phép biến đổi Laplace các phương trình này trở thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Tìm ra nghiệm các phương trình trên là các hàm ảnh và sau đó dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc. Năm 1744 , Euler đã đưa ra các tích phân:  X ( x)e ax dx;  X ( x) x a dx để giải các phương trình vi phân. Sau đó, Lagrange khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, đã đưa ra biểu thức tích phân:  X ( x)e ax a x dx. Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng các phép tính tích phân để giải phương trình. Năm 1785 , vượt ra khỏi giới hạn giải các phương trình bằng phương pháp tích phân, Laplace đã bắt đầu đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân: x s f (s)dx tương tự phép biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân từ đó tìm ra cách giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của phép biến đổi Laplace. 1 Ngày nhận bài: 13/01/2016. Ngày nhận kết quả phản biện: 03/03/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Nguyễn Xuân Vui, e - mail: nguyenxuanvui277@gmail.com 1 2. Tìm ảnh của hàm 2.1. Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 2.1. Giả sử hàm f  t  thỏa mãn các điều kiện sau: i) f (t )  0 khi t  0. ii) f (t )  Mes t khi t  0 , trong đó M  0 và s0 là hằng số thực nào đó. 0 iii) Trên đoạn hữu hạn [a,b] bất kỳ của nửa trục dương Ot, hàm f(t) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet, tức là: a) bị chặn; b) hoặc liên tục, hoặc chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một; c) có một số hữu hạn cực trị. Các hàm như vậy trong phép tính toán tử gọi là hàm được mô tả theo Laplace hay hàm nguyên mẫu (có khi gọi tắt là nguyên mẫu). Giả sử p = α+βi là tham số phức, đồng thời Rep = α  s1 s2.  Với các điều kiện nói trên, tích phân:  e pt f (t )dt hội tụ và là hàm của p 0   pt Xét tích phân sau:  e f (t )dt  f ( p). 0 Tích phân này được gọi là tích phân Laplace, còn hàm của biến phức p xác định bởi tích phân đó được gọi là biến đổi Laplace của hàm f (t ) , hay là ảnh Laplace f (t ) (ảnh f (t )). Kí hiệu hàm f ( p) là ảnh của hàm nguyên mẫu f (t ) là: f ( p)  L[ f (t )], hay f ( p) f (t ) Quy ước giá trị của hàm nguyên mẫu f (t ) tại điểm gián đoạn loại một t0 bằng nửa tổng số các giá trị giới hạn của nó từ phía trái và phía phải của điểm đó: f (t0 )  f (t0  0)  f (t0  0) 2 (2.1) Nhận xét 2.2. Khi thỏa mãn điều kiện (2.1) sự tương ứng giữa nguyên mẫu và ảnh có các tính chất sau đây: a) Sự tương ứng đó là tương ứng 1  1 (tức là mỗi nguyên mẫu ứng với một ảnh duy nhất và ngược lại); b) Tổ hợp tuyến tính bất kỳ một số hữu hạn các nguyên mẫu có ảnh là tổ hợp tuyến tính tương ứng các ảnh của chúng. Như vậy, nếu f k ( p) 2 f k (t ) (k  1, 2, , n) , thì n  ck fk ( p) k 1 n c k 1 k f k ( p). 2.2. Tìm ảnh của hàm Trong bảng và mỗi ví dụ dưới đây chỉ xem giá trị của f  t  khi t  0 (luôn luôn xem f (t )  0, nếu t  0 ). Bảng ảnh của các hàm sơ cấp cơ bản f ( p) TT f (t ) khi t  0 1 p VI e t cos  t p  ( p   )2   2 1 VII e t sin  t  ( p   )2   2 TT f (t ) khi t  0 I 1 II tn n! III e t 1 p  VIII IV cos  t p 2 p 2 V sin  t  p n 1 p  2 f ( p) tn n! 1 ( p   ) n 1 IX t cos  t p2   2 ( p 2   2 )2 X t sin  t 2 p ( p   2 )2 e t 2 2 Ví dụ 1.Tìm ảnh của hàm f (t )  at . Giải: Vì a  eln a nên f (t )  et ln a . Sử dụng công thức III sẽ có f (t )  1 . p  ln a Ví dụ 2. Tìm ảnh của hàm f (t )  cos3 t. Giải: Sử dụng công thức Euler: cos t  eit  eit , có phương trình: 2 3  eit  eit  1 3it 1 e3it  e3it 3 eit  eit 1 3 it  it 3it cos t    ·  cos 3t  cos t   (e  3e  3e  e )  · 2  8 4 2 4 2 4 4  3 1 p 3 p p( p 2  7) Sử dụng công thức IV sẽ có: f ( p)  · 2  · 2  2 4 p  9 4 p  1 ( p  1)( p 2  9) Ví dụ 3. Tìm ảnh của hàm f  t   shbt. 1 Giải ...