Phương pháp chuẩn hóa trong toán

PHƯƠNG PHÁP CHUẨN HOÁ Để giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình, tài liệu sẽ giúp các bạn đòa sâu kiến thứu về toán. Tài liệu rất hay
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp chuẩn hóa trong toán PHƯƠNG PHÁP CHUẨN HOÁ1. Đặt vấn đề: Cho H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k, nghĩa là H(tx, ty, tz) = tk H(x, y, z)và h/s F(x, y, z) thỏa mãn F(x, y, z) = F(  x,  y,  z). Khi đó giá trị củaF(x, y, z) trên miền {(x, y, z)/H(x, y, z) = a, a > 0}không thay đổi khi a thay đổi. Thật vậy, giả sử M(x, y, z): H (x, y, z) = a1 M’(x’, y’, z’): H(x’, y’, z’) = a2; a1 ạ a2; a1, a2 > 0 a2Ta có H  x, y, z =a1  H(x, y, z) =a2 a1 k  a2   a2 a a   k  H(x, y, z) =a2  H  k x, k 2 y, k 2 z =a2  a1   a1 a1 a1  a a ađặt x = k 2 x, y = k 2 y, z = k 2 z a1 a1 a1Ta có: H(x, y, z) =a2  F(x, y, z) =F(x, y, z)Mặt khác : M   H(x, y, z) =a1  M   H(x, y, z) =a2Như vậy để tìm giá trị của F(x, y, z) trên miền H(x, y, z) ta chỉ cần tìm giátrị của F(x, y, z) trên miền H(x, y, z) = a cố định thích hợp.2. Các bài toán áp dụng.Bài toán1: Cho a, b, c> 0. Tìm max a(b +c) b(c +a) c(a +b) Q =F(a, b, c) = 2 2 + 2 2 + (b +c) +a (c +a) +b (a +b)2+c2 ( Olimpic 30 - 4- 2006).Lời giải:Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc) nên ta tìm giá trị Q trên miền a + b + c = 1Ta có: a(1- a) b(1- b) c(1- c) Q= 2 + 2 + 1 - 2a +2a 1- 2b +2b 1- 2c +2c2Theo Côsi: 2  2a +1- a  (a +1)2 2a(1- a)   = 4  2  2 (a+ 2 (1- a)(a +3) 1)  1- 2a +2a =1- 2a(1- a)³  1 - = 0 4 4 a(1- a) 4a(1- a) 4  3   = =4 1 - 2 1- 2a +2a (1- a)(a +3) a +3  a +3    3   3   3     1 1 1   Q  4  1- a +3 +  1- b +3 +  1 - c +3 =4 3 - 3 a +3 + b +3 + c +3            Ta có: 1 1 1 9 9 9 6 + +  =  Q  4(3 - 3. ) =a +3 b +3 c +3 a +b +c +9 10 10 5 6Suy ra : maxQ = khi a = b = c 5Bài toán 2: Cho a, b, c > 0. Tim min (a +b +c)2 1 a3 +b3 +c3 a2 +b2 +c2  Q= 2 2 2 +  -  (1) a +b +c 2 abc ab +bc +ca Lời giải: Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc). Ta chỉ tìm giá trị của Q trên miền a2 + b2 + c2 = 3Khi đó:(a +b +c)2=a2+b2+c2+2ab +2bc +2ca  (a +b +c)2=3 +2(ab +bc +ca)a3+b3+c3=3abc +(a +b +c) 3 - (ab +bc +ca) a3+b3+c3 1 1 1 =3 +( + + ) 3 - (ab +bc +ca) abc ab bc ca 1 1 1 9Đặt  =ab +bc +ca  3;  = + +  ab bc ca Suy ra: 5 2 9 3 2 12  6Q   (3  )   2    2  2(  ) 2 3 2 2 3  3  1 6  3 3 3  3 3      3( )1/ 3  Q  2  2   43  3     Suy ra: minQ =4 , khi a = b = c > 0Bài toán 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh 7(a +b +c)(ab +bc +ca)  9abc +2(a +b +c)3 (1) 7(ab +bc +ca) 9abcLời giải: (1)  F(a, b, c) = - 2 (a +b +c)2 (a +b +c)3 Do F(a , b, c) = F(ta, tb, tc). Ta có thể xem a + b + c = 1. Suy ra: F(a, b, c) =7(ab +bc +ca) - 9abc =7a(1 - a) +bc(7 - 9a)Giả sử: 0 3 2 2 2 2 2 2 26(a +b +c)(a +b +c )  27abc +10(a +b +c ) (1) ...