Phương pháp hàm đặc trưng cho một số định lí giới hạn trong xác suất

Bài viết Phương pháp hàm đặc trưng cho một số định lí giới hạn trong xác suất trình bày nội dung chính của bài viết này là sử dụng công cụ hàm đặc trưng để giải quyết một số bài toán xấp xỉ trong,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp hàm đặc trưng cho một số định lí giới hạn trong xác suấtTạp chí Khoa học Trường Đại học Cần ThơTập 53, Phần A (2017): 88-95DOI:10.22144/ctu.jvn.2017.145PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG CHO MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠNTRONG XÁC SUẤTLê Trường Giang1 và Trịnh Hữu Nghiệm212Trường Đại học Tài chính – MarketingTrường Đại học Nam Cần ThơThông tin chung:Ngày nhận bài: 01/07/2017Ngày nhận bài sửa: 18/09/2017Ngày duyệt đăng: 29/11/2017Title:Characteristic functionsmethod for some of the limittheorems in probabilityTừ khóa:Hàm đặc trưng, tổng ngẫunhiên, xấp xỉ Gamma, xấp xỉLaplace, xấp xỉ Poisson phứchợpABSTRACTThe main purpose of this article is to use Characteristic functionsmethod to solve some approximation problems in probability such asCompound Poisson approximation, Gamma approximation, and Laplaceapproximation. The received results are extensions and generalizationsof some known results.TÓM TẮTNội dung chính của bài viết này là sử dụng công cụ hàm đặc trưng đểgiải quyết một số bài toán xấp xỉ trong xác suất như xấp xỉ Poisson phứchợp, xấp xỉ Gamma và xấp xỉ Laplace. Các kết quả nhận được là sự mởrộng và khái quát hóa một số kết quả đã có.Keywords:Characteristic functions,gamma approximation, laplaceapproximation, poissonapproximation, random sumsTrích dẫn: Lê Trường Giang và Trịnh Hữu Nghiệm, 2017. Phương pháp hàm đặc trưng cho một số định lígiới hạn trong xác suất. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 53a: 88-95.nói trên. Đã đến lúc một số bài toán mà những ứngdụng của nó trong thực tế cần phải được quan tâmnhiều hơn (Kalashnikov, 1997; Nguyễn Duy Tiến,2000; Minkova, 2010). Một số ứng dụng phải kểđến như ứng dụng trong lĩnh vực phân tích kinh tế,bảo hiểm, bài toán đầu tư, bưu chính viễn thông,đánh giá hiệu năng hệ thống máy tính, y tế...1 GIỚI THIỆUMột trong những kết quả quan trọng nhất của lýthuyết xác suất là các định lý giới hạn. Các định lýgiới hạn được biết như là nền tảng cho các suy luậnthống kê, phân tích tài chính cũng như dự báotrong kinh doanh và nhiều vấn đề liên quan khác(Feller, 1971a; Feller, 1971b; Nguyễn Duy Tiến vàVũ Viết Yên, 2000; Nguyễn Duy Tiến, 2000).Chính vì vậy, nhiều nhà toán học đã tập trung vàonghiên cứu các định lý giới hạn, trong số đó định lýgiới hạn trung tâm và luật số lớn thường được quantâm nhiều hơn. Tuy nhiên, trong thời đại ngày nay,một số yêu cầu thực tế đòi hỏi ta phải có những cơsở lý thuyết nằm ngoài phạm vi của hai bài toánĐể giải quyết các bài toán xấp xỉ trong xác suất,các nhà toán học trong và ngoài nước đã sử dụngnhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn như phương pháp Stein (Barbour and Chen, 2004; TranLoc Hung and Le Truong Giang, 2016a), phươngpháp toán tử (Renyi, 1970; Tran Loc Hung and LeTruong Giang, 2014; Tran Loc Hung and Le88Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần ThơTập 53, Phần A (2017): 88-95Truong Giang, 2016b; Trịnh Hữu Nghiệm và LêTrường Giang, 2016), phương pháp hàm đặc trưng(Eugene Lukacs, 1970; Tran Loc Hung et al., 2008;Tran Loc Hung and Tran Thien Thanh, 2010). Mỗiphương pháp đều có những ưu điểm cũng như hạnchế riêng của nó. Trong khuôn khổ bài viết này,phương pháp hàm đặc trưng sẽ được sử dụng đểgiải quyết bài toán xấp xỉ Poisson phức hợp, xấp xỉGamma và xấp xỉ Laplace. Các kết quả nhận đượclà sự tổng quát hóa một số kết quả trongKalashnikov, 1997; Tran Loc Hung et al, 2008;Tran Loc Hung, and Tran Thien Thanh, 2010;Trịnh Hữu Nghiệm và Lê Trường Giang, 2016.k  X (t) nhiên độc lập, có cùng phân phối và độc lập vớiN . Biến ngẫu nhiên0,N 0SN   X 1  X 2  ...  X n , N  nđược gọi là tổng ngẫu nhiên. Để đơn giản ta kí hiệuS N  X 1  X 2  ...  X N , trong đó ta quy ướcS N  0 nếu N  0.Ta có hai bổ đề quan trọng sau liên quan đếnhàm đặc trưng và được áp dụng trong phần chứngminh các kết quả chính:của đại lượng ngẫu nhiên X , ta gọi hàm biến thựcBổ đề 2.1 Giả sử  N (t ) E (t N ) là hàm sinhcủa biến ngẫu nhiên N và biến ngẫu nhiên X cóitXhàm đặc trưng  X (t )  E (e ) . Khi đó hàm đặctrưng của S N được xác định như sau:được xác định bằng hệ thứceitxdFX ( x) cos txdFX ( x)  i  sin txdFX ( x)là hàm đặc trưng của phân phối S (t )   N  X (t )  .NBổ đề 2.2 Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giátrị nguyên với hàm đặc trưng  X (t ) thìFX .Một vài tính chất quan trọng của hàm đặc trưng:1. X (t)   X (0)  1, t  ;2. X (t )P X  k liên tục đều trên ; i1Xi itk X (t)dt , k  0, 1, 2,...d(t)   i 1 X i (t);a và b ta cóaX b (t)  e  X (at );4. Với mọi số thựcĐịnh nghĩa 3.1 Cho { X n , n  1} là dãy biếnngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với biến ngẫunhiên X , Z là biến ngẫu nhiên có phân phốiibtn  với n  1 thì  X (t )có đạo hàm đến cấp n tại mọi điểm và5. Nếu E X eTrong các mục sau ký hiệu  được dùngđể chỉ sự hội tụ theo phân phối của các biến ngẫunhiê ...