Phương pháp hàm số trong giải toán

Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp hàm số trong giải toán Phương pháp hàm số trong giải toán MỞ ĐẦUĐịnh nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm s ố đã được trình bày ởchương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính ch ất và các ứngdụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ th ể là đạo hàm củahàm số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ởchương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét đ ượckhoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đ ồ th ịhàm số.Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một s ố bài toántrong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét s ựhội tụ của dãy số và chứng minh bất đẳng thức.Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàmsố vào trong giải toán. 1 Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2 Phương pháp hàm số trong giải toánI- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bấtphương trình.1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thìsố nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y) ⇔ x = y vớimọi x, y ∈ D.Chứng minh:a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k.Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y =g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phươngtrình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.Chứng minh:Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm.Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = 4 - x.Giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0.Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên Rf’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0 ∀ x ∈R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.Bài tập 1: Giải phương trình: log x = 11 − x 2 2Bài tập 2: Giải phương trình: 9 x − (13 − x 2 ).3x − 9x 2 + 36 = 0 .  x2 + x + 3  ÷ = x + 3x + 2 2 log 3  2Ví dụ 2: Giải phương trình :  2x + 4x + 5 Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương vớilog 3 ( x 2 + x + 3) + ( x 2 + x + 3) = log 3 (2x 2 + 4x + 5) + (2 x 2 + 4 x + 5) (*)Xét hàm số f(t) = log 3 t + t .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ∞ ) 1 + 1 > 0 ∀t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ∞ )f’(t) = t. ln 3Phương trình (*) ⇔ f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)⇔ x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 ⇔ x = - 1 v x = - 2. 3  x − 3 y = y − 3x 3Bài tập 1: Giải hệ phương trình  2  2x − y = 4 2   x 3 + 3 y = y 3 + 3x Bài tập 2: Giải hệ phương trình  2 3x + y = 1 2   x + 3 + 10 − y = 5 Bài tập 3: Giải hệ phương trình   y + 3 + 10 − x = 5   x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0 Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  2 x + 1 − x − 3 2 y − y + m = 0 2 2  ...