Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức là tư liệu học tập hữu ích cho những ai đang trong quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức để vượt qua kì thi học kì sắp tới với kết quả như mong đợi. Mời các em cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức Tailieumontoan.com  Lưu Lý TưởngPHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNHCHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phú Thọ, tháng 9 năm 2019 Website: tailieumontoan.com PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lưu Lý Tưởng – Giáo viên trường THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ. Số điện thoại: 01672535595 Gmail: luutuongvl1984@gmail.com Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến? Câu trả lời là rất nhiều và đôi khi bạncảm thấy bực bội và khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nàođó. Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy, đôi khi bạn không thể hiểu được vì sao người ta lạitìm ra một lời giải trông có vẻ “ kì cục” như thế. Phải chăng là lần mò và may rủi mới tìm rađược? Câu trả lời là mỗi lời giải đều có sự giải thích riêng của bản thân nó. Để thấy được tínhhiệu quả của phương pháp này chúng ta cùng phân tích hai bài toán sau1. Phân tích ý tưởng của phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thứcB i toán 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng 1 1 1 2 a b c  2 2  2 2 2  5.   a2 b c 3Giải. 1 1 1 2a 2 2b2 2c 2  Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành      5. a2 b2 c 2 3 3 3 1 2a 2 7 2aTa chứng minh bất đẳng thức sau đây 2    1 a 3 3 3  a  1  2a  2 2 2  6a  3Bất đẳng thức trên tương đương với  0 luôn đúng với mọi số dương a. 3a 2 1 2b2 7 2b 1 2c 2 7 2cTương tự ta có: 2     2  ; 2     3 . b 3 3 3 c 3 3 3Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có: 1 1 1 2a  b  c  2a  b  c 2 2 2 2  2 2  7  5. a b c 3 3Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ra thì ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức 1 2a 2 5  a  1 a  1  2a 2  3     0. a2 3 3 3a 2 Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với số dương a.Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện a  b  c  3.Như vậy ta sẽ không đi theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng 1 2a 2thức sau đúng 2   ma  n  4  a 3Trong đó m, n là các hệ số chưa xác định, thiết lập tương tự với các biến b và c ta được 1 2b2 1 2c 2   mb  n  5  ;   mc  n  6 b2 3 c2 3Cộng (4); (5); (6) theo vế ta có 1 1 1 2 a b c     2 2 2   m  a  b  c   3n  3  m  n  . a 2 b2 c 2 3 Website: tailieumontoan.com 5Như vậy ở đây 2 hệ số m, n phải thỏa mãn điều kiện 3  m  n   5  n   m . 3 2 1 2a 5Thế vào (4) dẫn đến 2    m  a  1  7  a 3 3Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức ( 7) là đúng.Chú ý đẳng thức xảy ra tại a  b  c  1 nên ta cần xác định m sao cho 1 2a 2 5    m     a  1  a  1  ...