Phương pháp lượng giác giải phương trình đa thức bậc cao

Bài viết "Phương pháp lượng giác giải phương trình đa thức bậc cao" trình bày một số hệ thức đại số có xuất xứ từ các phép biến đổi lượng giác, từ đó cho áp dụng khảo sát một số dạng phương trình đa thức nhiều ẩn và đa thức một biến bậc cao. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp lượng giác giải phương trình đa thức bậc cao Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO Mông Thanh Hằng THPT Sơn Dương, Tuyên Quang Tóm tắt nội dung Trong báo cáo này trình bày một số hệ thức đại số có xuất xứ từ các phép biến đổi lượng giác, từ đó cho áp dụng khảo sát một số dạng phương trình đa thức nhiều ẩn và đa thức một biến bậc cao. 1 Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác Nhận xét rằng đẳng thức cơ bản để dẫn đến sự phong phú của hệ thống các đồng nhất thức lượng giác là công thức sin2 t + cos2 t = 1, ∀t ∈ R. (1.1) Gắn với hệ thức (1.1) là đồng nhất thức Lagrange (2x )2 + (1 − x2 )2 = (1 + x2 )2 , ∀ x ∈ R. (1.2) Hai công thức (đồng nhất thức) (1.1) và (1.2) là hai cách viết của một hệ thức. Nếu ta t thay x = tan vào (1.2) thì dễ dàng thu được (1.1) và ngược lại. 2 Như vậy là mỗi công thức lượng giác sẽ tương ứng với một đồng nhất thức đại số tương ứng. Tuy nhiên, với số lượng các công thức biến đổi lượng giác quá nhiều, bản thân các hệ thức lượng giác tạo thành một chuyên đề có tính độc lập tương đối, dần tách hẳn cơ sở đại số của nó, đã làm cho chúng ta quên đi một lượng lớn các hệ thức đại số có cùng xuất sứ từ một hệ thức lượng giác quen biết. Đặc biệt, trong chương trình toán bậc phổ thông hiện nay, các hàm số lượng giác ngược, hàm lượng giác hyperbolic,... không nằm trong phần kiến thức bắt buộc thì những bài toán liên quan đến chúng sẽ là một thách thức lớn đối với học sinh. Ta nhắc lại công thức Euler quen biết eiα = cos α + i sin α, α ∈ R. Khi đó eiα + e−iα  cos α  = , 2 iα e −e − iα sin α = .  2i 116 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 1 1Rõ ràng khi khảo sát hàm số cos t thì ít ai nghĩ trong đầu rằng nó có dạng a+ vì 2 akhi đó a không còn là một số thực. Nhưng nếu ta chú ý đến biểu thức eα + e−α , α ∈ R, 2thì đó chính là cos(iα) (= cosh α) và vì vậy, về mặt hình thức, ta sẽ có nhiều biến đổi thuđược từ các công thức liên quan đến biến x 6∈ [−1, 1] giống như công thức đối với hàmcos t (xem [2]).Ví dụ 1. Hệ thức đại số ứng với công thức cos 3t = 4 cos3 t − 3 cos tchính là công thức 1 3 1 h1 1 i3 h 1 1 i a + 3 =4 a+ −3 a+ , 2 a 2 a 2 ahay 1 3 1 4x3 − 3x = a + 3 2 avới 1 1 x= a+ , a 6= 0. 2 aVí dụ 2. Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t + cos t = 2 cos 3t cos 2tchính là công thức 1 5 1 1 1 h1 1 ih 1 2 1 i a + 5 + a+ =2 a3 + 3 a + 2 . 2 a 2 a 2 a 2 a Sử dụng kết quả khai triển các hàm lượng giác cos 3t và cos 2t, ta thu được đồng nhấtthức đại số dạng đa thức bậc 5 1 5 1 a + 5 = −m + 2(4m3 − 3m)(2m2 − 1), 2 atrong đó 1 1 m= a+ . 2 a Bây giờ ta chuyển sang xét các hệ thức đại số liên quan đến hàm số sin t. Từ công thứcEuler, ta thu được hệ thức eit − e−it i sin t = . ...