Phương trình

Trong toán học, một phương trình là một cách viết thể hiện hai hàm số bằng nhau đối với một số giá trị (hoặc không có giá trị nào) của các biến số. Viết một cách tổng quát một phương trình là:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình Phương trìnhTrong toán học, một phương trình là một cách viết thể hiện hai hàm số bằng nhau đốivới một số giá trị (hoặc không có giá trị nào) của các biến số. Viết một cách tổng quátmột phương trình là:Hoặc luôn có thể đơn giản hoá thành:với:Các giá trị của các biến số ở đó hai hàm số bằng nhau được gọi là nghiệm số của phươngtrình. Việc tìm ra các nghiệm số của phương trình gọi là giải phương trình. Nghiệm số,nếu tồn tại, có thể tìm thấy bằng biến đổi toán học và biểu diễn bằng các hàm toán học cơbản hoặc tìm thấy dưới dạng số bằng phương pháp số, ngay cả khi không thể biểu diễnbằng hàm toán học cơ bản.Cần chú ý phân biệt phương trình với đẳng thức, sự thể hiện rằng giá trị hai hàm số luônbằng nhau với mọi biến số. Khi cẩn thận, nên sử dụng dấu thay cho dấu = khi viếtđẳng thức, như trong (3) ở trên.Trong ngôn ngữ lập trình cho máy tính, người ta hay quy ước dùng dấu == cho phươngtrình và dấu = cho đẳng thức. Biểu diễn phương trình như vậy trong lập trình nhiều khiđược nhận giá trị đúng khi hai vế bằng nhau và sai khi hai vế khác nhau. Bất phương trìnhKhái niệmTrong toán học, người ta định nghĩa bất phương trình thông qua khái niệm hàm mệnhđề (mệnh đề chứa biến). Bài này trình bày một cách đơn giản nhất về các bất phươngtrình.Bất phương trình một ẩn trên trường số thựcBất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x)trên trường số thực dưới một trong các dạngGiao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bấtphương trình.Tuy nhiên các bất phương trình trên đều có thể chuyển về dạng tương đương f(x)> 0(hoặc f(x) ≥ 0).Cũng như trong phương trình, biến x trong bất phương trình cũng được gọi là ẩn, hàm ýlà một đại lượng chưa biết.Sau đây ta sẽ xét bất phương trình dạng tổng quát f(x)> 0.Nếu với giá trị x =a, f(a) > 0 là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng a nghiệm đúng bấtphương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của bất phương trình.Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm hay lời giải củabất phương trình, đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bất phương trình. Trongnhiều tài liệu người ta cũng gọi tập nghiệm của bất phương trình là nghiệm của bấtphương trình.Giải một bất phương trình nghĩa là tìm tập nghiệm của nó. • Ví dụ: Bất phương trình 4.x+ 2 > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x> -0.5. Tập nghiệm của bất phương trình là { x | x > -0.5 } = (0.5 ; )Bất phương trình của nhiều ẩnKhái niệm bất phương trình có thể mở rộng thành bất phương trình n biến trên hoặctrên tập bất kỳ của biến x nhưng các hàm f(x) và g(x) phải nhận giá trị trên các tập sắp thứtự toàn phần.Phân loại bất phương trìnhCác bất phương trình một ẩn đều có thể chuyển về dạng f(x)>0 hoặc f(x)≥0. Khi đó phânloại của bất phương trình được quy về phân loại của hàm f(x) 1. Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k. 2. Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép khai căn 3. Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến trên lũy thừa. 4. Các bất phương trình logarithm là các bất phương trình có chứa hàm logarithm(chứa biến trong dấu logarith.Cách giải một số bất phương trình đại số bậc thấpSau đây chỉ nói về các bất phương trình dạng f(x) > 0. Các kết quả tương tự cho các bấtphương trình với dấu ≥.Bất phương trình bậc nhất một ẩnBất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình dạng:trong đó a ≠ 0. • Nếu a > 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: . • Nếu a < 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: .Bất phương trình bậc hai một ẩnBất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng:trong đó a ≠ 0.Đặt Δ = b2 - 4.a.c. Ta có các trường hợp sau: • Nếu Δ < 0 và o a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: . o a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: . • Nếu Δ = 0 và o a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: . o a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: . • Nếu Δ > 0, gọi x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình bậc hai a.x2 + b.x + c = 0 vớiKhi đó • Nếu a > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: • Nếu a < 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là:Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai khi Δ dương và a dươngTập nghiệm của bất phương trình bậc hai khi Δ ...