PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về phương trình vi phân cấp hai tuyến tính
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH Toán cao cấp 2 BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNHGvTRẦNXUÂNTHIỆN Ngày03/11/2008 1 Kiểm tra bài cũGiải phương trình sau : y’’ - 5y’ + 6y = 0 Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + py’ + qy = 0 (11.30)Nghiệm của phương trình đặc Nghiệm của phương trình (11.30)trưng r2 + pr + q = 0 (11.31)r1 , r2 thực , r1 ≠ r2 y = C1e r1x + C2e r2 xr1 = r2 = r y = e rx (C1 + C2 x )r1 , r2 = α ± iβ ,α ,β thực y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x) Kiểm tra bài cũGiải phương trình sau : y’’ -5y’+6y = 0Giải :Phương trình đặc trưng : r2 – 5r + 6 = 0 (*) ∆ = b 2 − 4ac = 25 − 24 = 1 > 0 Phương trình (*) có nghiệm : r = 2 r = 3 Vậy nghiệm tổng quát tương ứng là : y = C1e 2x + C2 e 3x Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính3.4 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi. 3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn (x) là một đa thức bậc n. 3.4.2. f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn (x) là một đa thức bậc n. 3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n. Nghiệm riêng của phương trình (11.32) có dạng: Y = e αx.Qn(x) (11.33) với α2 + pα + q ≠ 0 Qn(x) là đa thức bậc n Các hệ số Qn(x) được xác định bằng cách lấy đạo hàm các cấp của Y thay vào phương trình đã cho rồi cân bằng các hệ số của PTVTC2 có dạng các lũy thừa cùng bội của x.y’’ + py’ + qy = eαx.Pn(x) α 2 + pα + q = 0  2α + p ≠ 0 Nghiệm riêng của phương trình (11.32) có dạng : Y = x. e αx.Qn(x) α 2 + pα + q = 0 Nghiệm riêng của phương trình  (11.32) có dạng :  2α + p = 0 Y = x2. e αx.Qn(x) Ví dụ• Giải các phương trình sau : 1. y’’ + y’ - 2y = 1 – x 2. y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) 3. y’’ -2y + y = x.ex1.Giải phương trình : y’’ + y’-2y = 1 – x• Giải :Vế phải có dạng : f(x) = e 0x.P1(x) , α = 0, P1(x) = 1 - xPhương trình đặc trưng : r2 + r – 2 = 0  r = 1; r = -2Nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + y’-2y = 0 là : y = C1ex + C2e- 2xVì α = 0 không là nghiệm phương trình đặc trưng vậy nghiệm riêng Y có dạng:Y = e 0x.P1(x) = P1(x)  y = Ax + B ( A, B là hằng số )Y’ = A , Y’’ = 0 . Thay vào phương trình đã cho ta được :Y’’ + Y’ – 2Y = A – 2(Ax + B) = -2Ax +A – 2B = 1 - x A= 1 −2 A = −1   2 Đồng nhất hệ số ta được : A − 2 B = 1 ⇔  1 B = −   4 x 1Vậy : y = C1e x + C2e −2 x + − 2 42.Giải phương trình : y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 )• Giải :Vế phải có dạng : eαx.P1(x) , trong đó α = 1: P1(x) là đa thức bậc một.Phương trình đặc trưng : r2 - 4r + 3 = 0  r = 1 và r = 3 .Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất :y’’ – 4y’ + 3y = 0 là : y = C1ex + C2e3xVì α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng : Y = ex. x.(Ax + B) = ex.(Ax2 + Bx)Do đó : Y’ = ex.(Ax2 + Bx) + ex.(2Ax + B) = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] Y’’ = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] + ex [2Ax2 + (B + 2A)]  1 = ex [Ax2 + (B + 4A)x + 2B + 2A]  A=−  4 ⇒Thế vào phương trình đã cho: e [- 4Ax + 2A – 2B] = e (x + 2) x x  x+5 B = − 5Vậy : Y = −e x x     4  4  x2 + 5x x y = C1e + C2e − x 3x eNghiệm tổng quát phải tìm là : 43.Giải phương trình : y’’ -2y + y = x.ex• Giải :Vế phải có dạng : eαx.P1(x) , trong đó α = 1, P1(x) = x là đa thức bậc một.Phương trình đặc trưng : r2 - 2r + 1 = 0  r = 1Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : y’’ – 2y’ + y = 0 là : y = ex (C1+ C2x)Vì α = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc ...