Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 5

Tham khảo tài liệu quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 5, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 584 Chương 2. Quá trình d ngCác h s hi đư c xác đ nh truy h i như sau h0 = 1 h1 = β1 + α1 = 0, 7 h2 = β2 + α1 h1 + α2 = (0, 7)(0, 7) − (0, 1) = 0, 39 hj = 0, 7hj −1 − 0, 1hj −2 j = 2, 3, ....Ví d 2.9. Xét dãy ARMA(1, 1) (Xn ) như sau Xn = αXn−1 + Wn + βWn−1 (2.7)trong đó |α| < 1, |β | < 1. Ta có Φ(z ) = 1 − αz, Φ(B ) = 1 − αB ∞ 1 1 αi z i . = = Φz 1 − αz i=0Vy ∞ αi z i ) H (z ) = (1 + βz )( i=0 ∞ ∞ αi + β αi z i+1 = i=0 i=0 ∞ ∞ αi + β α i −1 z i = i=0 i=1 ∞ (αi + βαi−1 )z i =1+ i=1 ∞ α i −1 z i . = 1 + (α + β ) i=1Thành th ∞ α i −1 W n −i Xn = H ( B ) W n = W n + ( α + β ) i=12.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 85Ti p theo d a vào bi u di n trung bình trư t này ta hãy tìm hàm t tươngquan c a (Xn ). Nhân hai v c a (2.7) v i Xn−h ta đư c Xn Xn−h − αXn−1 Xn−h = Wn Xn−h + βWn−1 Xn−h .L y kỳ v ng hai v ta đư c K (h) − αK (h − 1) = EWn Xn−h + βEWn−1 Xn−h .V i h = 1 chú ý r ng EWk Xm = 0 n u k > m và EWk Xk = σ 2 ta đư c K (1) − αK (0) = βσ 2.Cho h = 0 ta đư c K (0) − αK (1) = σ 2 + β (α + β )σ 2 = σ 2 (1 + αβ + β 2).V i h ≥ 2 thì EWn Xn−h = 0, EWn−1 Xn−h = 0 do đó K (h) − αK (h − 1) = 0.T đó v i h ≥ 2 K (h) = αh−1 K (1).Th K (1) − αK (0) = βσ 2 K (0) − αK (1) = σ 2 + β (α + β )σ 2d dàng tìm đư c (α + β )2 α K (1) = σ 2 α + β + 1 − α2 (α + β )2 K (0) = σ 2 1+ 1 − α2và K (h) = αh−1 K (1) n u h ≥ 2.86 Chương 2. Quá trình d ng2.1.3 Đ đo ph và m t đ phTrong ti t này chúng ta s trình bày m t đ c trưng quan tr ng c a dãy d ng:Đó là khái ni m đ đo ph .Đ nh lý 2.11. Gi s K (h) là hàm t tương quan c a dãy d ng (Xn ). Khiđó t n t i và duy nh t m t đ đo h u h n µ trên [−π, π ] sao cho K (h) cóbi u di n tích phân sau π eihx dµ(x). K ( h) = −πĐ đo µ đư c g i là đ đo ph c a dãy d ng Xn .Ch ng minh. Do K (n) là hàm xác đ nh không âm nên v i zj = e−ixj ta có n n n −1 −ix(j −k ) K (m)e−ixm(n − |m|) , ∀x . K (j − k )e = j =1 k =1 m=−(n−1)Đt n −1 1 |m | K (m)e−ixm 1 − fn (x) = . 2π n m=−(n−1)Ta có fn (x) ≥ 0 , ∀x và π fn (x)dx = K (0) ...