Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 9

Tham khảo tài liệu quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 9, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 9Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 180-218.Từ khoá: Quá trình ngẫu nhiên, Tính toán ngẫu nhiên Quá trình Wiener, Tíchphân Wiener, Tích phân ngẫu nhiên Ito, Công thức Ito, Phương trình vi phânngẫu nhiên.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mụcđích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấnphục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản vàtác giả.Chương 4Tính toán ng u nhiên 4.1 Quá trình Wiener và ti ng n tr ng . . . . . . . 196 4.2 Tích phân Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 4.3 Tích phân ng u nhiên Ito ............. 206 4.4 Công th c Ito .................... 213 4.5 Phương trình vi phân ng u nhiên . . . . . . . . . 221 4.6 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Năm 1908 nhà v t lý n i ti ng ngư i Pháp Langevin khi nghiên c uchuy n đ ng h n lo n c a m t h t trong ch t l ng đã đ c p t i phươngtrình sau đây ˙ Xt = −αXt + σξt ˙trong đó Xt là thành ph n v n t c c a h t t i th i đi m t còn α, σ là cách ng s dương. Thành ph n σξt th hi n s tác đ ng c a l c ngoài do vach m ng u nhiên v i các phân t c a môi trư ng ch t l ng. ξt đư c các nhà196 Chương 4. Tính toán ng u nhiênv t lý g i là n tr ng. Ti ng n tr ng đư c các nhà v t lý hi u như m tquá trình Gauss d ng v i trung bình 0 và m t đ ph là h ng s trên toànđư ng th ng. Tuy nhiên v m t toán h c m t quá trình d ng như v y khôngt n t i. Phương trình Langevin là trư ng h p đ c bi t c a các phương trìnhd ng sau đây xu t hi n trong nhi u mô hình mô t các hi n tư ng t nhiênkinh t và tài chính ˙ Xt = f (t, Xt ) + g (t, Xt)ξt .Đ x lý m t cách ch t ch toán h c phương trình vi phân lo i này m t lýthuy t toán h c m i đã ra đ i. Đó là tính toán ng u nhiên Ito. M c đích c achương này là trình bày nh ng nét r t cơ s c a lý thuy t quan tr ng này.4.1 Quá trình Wiener và ti ng n tr ngTrong m c này ta đi m qua m t s tính ch t c a quá trình Wiener mà tađã trình bày trong các chương trư c. Nh l i r ng m t quá trình Wiener(Wt ), t ≥ 0 là m t quá trình gia s đ c l p v i giá tr ban đ u W0 = 0 gia sWt − Ws có phân b chu n v i kỳ v ng 0 phương sai t − s. H u h t các quđ o c a Wt là các hàm liên t c. Vi c Wt là m t quá trình gia s đ c l p và gia s Wt − Ws có phân bd ng (t c là ch ph thu c vào đ dài t − s) khi n cho ta có th áp d ng cácđ nh gi i h n cho t ng các đ i lu ng ng u nhiên đ c l p cùng phân b vàovi c nghiên c u dd l n s thăng giáng c a qu đ o c a quá trình Wiener.Lu t m nh s l n kh ng đ nh r ng v i xác su t 1 Wt lim = 0. t→∞ tC p chính xác c a s thăng giáng qu đ o c a quá trình Wiener đư c chob i lu t loga l p . Lu t loga l p kh ng đ nh r ng v i h u h t các qu đ o tacó Wt lim sup √ =1 2t log log t t→∞4.1. Quá trình Wiener và ti ng n tr ng 197và Wt lim inf √ = −1. 2t log log t t→∞Ta có b đ sau đâyB đ 4.1. N u (Wt) là quá trình Wiener thì các quá trình sau đây: • −Wt • cWt/c2 đó c = 0 • W t +s − W s đó s c đ nh t ≤ 0cũng là quá trình Wiener. S d ng b đ trên, áp d ng lu t loga l p cho quá trình Wiener tW1/t tathu đư c v i h u h t các qu đ o c a (Wt ) Wt lim sup =1 2tlog log 1/t t→0+và Wt lim inf = −1. + 2tlog log 1/t t→0H qu c a s ki n này là trong m i kho ng [0, ) qu đ o c a quá trìnhWiener có vô s không đi m, các không đi m này có đi m t t i t = 0.Kh ng đ nh này cũng đúng v i m i kho ng [s, s + ) vì Xt = Wt+s − Ws làm t quá trình Wiener. M c dù qu đ o c a quá trình Wiener là m t hàm liên t c song theom t đ ...