Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 7

Chương 3. Quá trình Martingale Đặng Hùng ThắngQuá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 143-194. Từ khoá: Quá trình ngẫu nhiên, Quá trình Martingale, Kỳ vọng có điều kiện, Thời điểm Markov, Các định lý hội tụ, Luật số lớn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 7Chương 3. Quá trình Martingale Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 143-194.Từ khoá: Quá trình ngẫu nhiên, Quá trình Martingale, Kỳ vọng có điều kiện,Thời điểm Markov, Các định lý hội tụ, Luật số lớn.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mụcđích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấnphục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản vàtác giả.Chương 3Quá trình Martingale 3.1 Kỳ v ng có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3.2 Martingale th i gian r i r c . . . . . . . . . . . . 148 3.2.1 Đ nh nghĩa, ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.2.2 Th i đi m Markov và th i đi m d ng . . . . . . . 154 3.2.3 M t s b t đ ng th c cơ b n . . . . . . . . . . . . 172 3.2.4 Các đ nh lý h i t , lu t s l n . . . . . . . . . . . 176 3.3 Martingale v i th i gian liên t c . . . . . . . . . 185 3.4 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Vi c nghiên c u s ph thu c c a các ĐLNN trong quá trình ng u nhiênt o nên các l p quá trình ng u nhiên khác nhau. Đ i v i quá trình Markovs ph thu c th hi n tính Markov: Quá kh đ c l p v i tương lai khibi t hi n t i. Trong qua trình d ng d a trên tính ch t c a hàm tương quan.Chương này nghiên c u m t l p qúa trình khác mà s ph thu c d a trêntính ch t kỳ v ng có đi u ki n. Chương này đư c chia làm hai ph n. Ph n144 Chương 3. Quá trình Martingaleđ u trình bày Martingale v i th i gian r i r c. Ph n sau trình bày các k tqu tương ng cho trư ng h p Martingale v i th i gian liên t c. Tuy nhiêndo khuôn kh cu n sách trong ph n B chúng tôi t p trung vào vi c gi i thi ucác khái ni m, đ nh nghĩa . Các đ nh lý đư c nêu ra và gi i thích ý nghĩa,nêu ví d minh ho ch không ch ng minh chi ti t.3.1 Kỳ v ng có đi u ki nKỳ v ng có đi u ki n là m t khái ni m r t quan tr ng trong lý thuy t xácsu t đ c bi t là trong lý thuy t martingale. Trong ti t này chúng ta s tómt t nh ng nét ch y u c a khái ni m này. Cho không gian xác su t (Ω, A, P ). Ta đã bi t khái ni m xác su t có đi uki n P (A|B ) đư c đ nh nghĩa là xác su t c a A đư c tính trong đi u ki n Bđã x y ra. Ta có công th c sau P (AB ) P (A|B ) = . P (B )N u X là m t ĐLNN kh tích thì ta đ nh nghĩa kỳ v ng có đi u ki n E (X |B )là m t s xác đ nh b i công th c sau 1 E ( X |B ) = XdP. P (B ) BGi s (Bn )∞ là m t phân ho ch đ m đư c c a Ω và F là σ -trư ng sinh n=1b i phân ho ch này. Ta đ nh nghĩa kỳ v ng có đi u ki n E (X |F ) b i côngth c sau ∞ E (X |F ) = E (X |Bn )IBn . n=1Như v y E (X |F ) là m t ĐLNN F -đo đư c và trên Bn ta có 1 E (X |F ) = E (X |Bn ) = XdP. P (Bn ) BnT đó suy ra E (X |F ) là m t ĐLNN F -đo đư c và tho mãn h th c sau E (X |F )dP = XdP. B B3.1. Kỳ v ng có đi u ki n 145Tính ch t này s đư c dùng làm đ nh nghĩa kỳ v ng có đi u ki n đ i v i m tσ - trư ng b t kỳ.Đ nh lý 3.1. Cho F là m t σ -trư ng. Cho X là ĐLNN không âm v i EX <∞. Khi đó t n t i duy nh t m t ĐLNN Y không âm,F - đo đư c sao cho v im i A ∈ F ta có Y dP = XdP. A ATa g i Y là kỳ v ng có đi u ki n c a X đ i v i F và ký hi u là Y = E (X |F ).Ch ng minh. V i m i A ∈ F đ t Q(A) = XdP. ARõ ràng A → Q(A) là m t đ đo trên (Ω, F ) và P (A) = 0 kéo theo Q(A) = 0.V y Q liên t c tuy t đ i đ i v i P . Theo đ nh lý Radon-Nyko dym t n t iduy nh t hàm Y : Ω → R+ là F - đo đư c sao cho Q(A) = Y dP. A N u X là ĐLNN v i E |X | < ∞ ta đ nh nghĩa E (X |F ) = E (X + |F ) − E (X − |F ).Sau đây là các tính ch t cơ b n c a kỳ v ng có đi u ki n mà ta s thư ngxuyên s d ng trong chương này. Các đ ng th c hay b t đ ng th c trongcác tính ch t đã ...