SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC

TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC www.laisac.page.tldaovchanh@gmail.com sent to SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC Đào Văn Chánh THPTTrầnQuốcTuấn.PhúYên TrướctiênchúngtaxétbàitoánIMO1984sau: 7 Cho x, y, z dương và thỏa x  y  z  1 . Chứng minh rằng xy  yz  zx  2xyz  . 27 Tuy nhiên, vấn đề bất đẳng thức này sinh ra từ đâu, và họ hàng của nó là gì thì có lẽ không dễ trả lời. 6 Ví như liệu bất đẳng thức xy  yz  zx  3xyz  (x, y, z  0, x  y  z  1) liệu có phải là bất đẳng thức 27 đúng để trở thành họ hàng của bất đẳng thức IMO 1984 ? Bài viết này thử tìm câu trả lời cho vấn đề trên. Bằng cách đặt một cách thông thường a  x  y  z, b  xy  yz  zx, c  xyz thì bất đẳng thức trên b7 7   tương đương với b  2c   c   ; b, c  0 27 2 54 Và ta thấy rằng x, y và z là ba nghiệm dương của phương trình f (t )  t 3  at 2  bt  c  0  f (t )  3t 2  2at  b  0 có hai nghiệm t1 , t2 sao cho f (t1 )f (t2 )  0 và f (0)  c  0  a, b, c  0   a 2  3b  0 (A) 4 1 4 2  a 3c  a 2b 2  b 3  abc  c 2  0  27 27 27 3 PHẦN I: Nếu a=1  c  0  1 Hệ điều kiện A    b  0 3 2  9b  2 (1  3b)3 2  9b  2 (1  3b)3  f2 (b)  c   f1(b)   27 27 Suy ra M (b;c) nằm trong phần gạch sọc của hình sau  1 1 7Vẽ đường thẳng (d): c  f (b)  b  ;b   0;  2 54  3Ta có (d) nằm dưới phần gạch sọc . Đó chính là bài toán IMO 1984 !Suy ra