Sử dụng số phức vào giải câu hình học phẳng trong đề thi tuyển sinh đại học môn Toán và đề thi học sinh giỏi

Bài viết giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, bài viết đưa ra cách tiếp cận khác đối với các câu hỏi khác nhau về hình học giải tích trên mặt phẳng trong các đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán, cũng như đề thi học sinh giỏi về hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng số phức vào giải câu hình học phẳng trong đề thi tuyển sinh đại học môn Toán và đề thi học sinh giỏi 429 SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI CÂU HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN VÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HV. Phạm Hoài Trung TS. Trần Lê Nam Tóm tắt. Trong bài báo, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, bài viết đưa ra cách tiếp cận khác đối với các câu hỏi khác nhau về hình học giải tích trên mặt phẳng trong các đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán, cũng như đề thi học sinh giỏi về hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức. 1. Mở đầu Từ thế kỉ XVI do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số mà số phức đã xuất hiện. Số phức kể từ khi ra đời đã tìm được rất nhiều những ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Vật lí và Toán học. Riêng về khía cạnh Toán học, số phức cung cấp công cụ hiệu quả để giải một số dạng toán đại số, giải tích, hình học và tổ hợp (xem [4]). Trên thực tế, trong các kì thi học sinh quốc gia, Olympic quốc tế có khá nhiều bài toán liên quan đến số phức. Dùng số phức ta cũng có thể tìm được lời giải khá tự nhiên và hữu hiệu (xem [4]). Chính vì vậy, chúng tôi nghĩ đến việc ứng dụng số phức vào giải các bài toán hình học giải tích và hình học phẳng. Câu hình học giải tích phẳng trong đề thi tuyển sinh Đại học các năm gần đây thuộc dạng câu hỏi phân loại học sinh khá, giỏi. Vì vậy, có khá nhiều học sinh không giải được câu này. Bài viết sẽ giới thiệu sự thể hiện của một số khái niệm trong hình học giải tích phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, chúng tôi áp dụng vào giải các bài tập ở dạng toán này. Đồng thời, chúng tôi tiếp cận thêm với đề thi học sinh giỏi môn Toán học. 2. Kiến thức chuẩn bị f : R 2  C ,  a, b  a  bi Chúng ta đã biết rằng nhờ song ánh nên mỗi điểm M  a, b  trên mặt Oxy được đồng nhất với một số phức zM  a  bi. Theo cách đồng nhất đó thì véc-tơ OM có tọa độ (hay tọa vị) là z M (Hình 1). Nói cách khác, véc-tơ a   a, b  cũng được đồng nhất với số phức za  a  bi. Khi đó, các phép cộng, trừ hai véc-tơ, nhân một số thực với một véc-tơ bằng các phép toán đó trên các số phức tương ứng. Phép nhân vô hướng 2 véc-tơ được tính theo công thức   a.b  Re za .zb  1 2   z a . zb  z a . z b . a  za .za . Đặc biệt, độ dài của a được tính theo công thức 430 Hình 1: Một điểm và một véc-tơ trên mặt phẳng được đồng nhất với một số phức 2.1. Hai đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi z A  zB z z  C D. z A  zB zC  zD 2.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng z A  zB zM  . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 2 2.3. Phương trình của đường thẳng Giả sử   là đường thẳng qua điểm A nhận a  0 làm véc-tơ chỉ phương. d Điểm M nằm trên đường thẳng   khi và chỉ khi AM  ta, t  R. Điều này tương d đương với đẳng thức zM  z A z  z A  zM  z A   t hay M  . za za  za  Do đó, đường thẳng d  có phương trình dạng z  z A zM  z A d  :  . za za Lý luận tương tự, chúng ta được đường thẳng  d  qua điểm A nhận n  0 làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình dạng z  zA z  zA  d  :  M . zn zn 2.4. Phương trình chính tắc của đường tròn Do khoảng cách giữa hai điểm A và B , ký hiệu  d A, B  , AB bằng nên chúng ta được d  A, B    zB  z ...