Sự hội tụ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên trong không gian NPC toàn cục

Bài báo đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên, sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian NPC toàn cục. Các kết quả này là mở rộng một kết quả đã biết của Karl - Theodor Sturm trong [5] về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sự hội tụ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên trong không gian NPC toàn cụcTẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊNTRONG KHÔNG GIAN NPC TOÀN CỤCNguyễn Văn QuảngĐại học VinhHoàng Thị DuyênTrường Đại học Quảng BìnhTóm tắt. Bài báo đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên, sau đó thiếtlập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trênkhông gian NPC toàn cục. Các kết quả này là mở rộng một kết quả đã biết của Karl - TheodorSturm trong [5] về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối.1. MỞ ĐẦUCác định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọngtrong lý thuyết xác suất và thống kê. Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinhtế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Chính vì thế, việc nghiên cứu vềluật số lớn không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa to lớn về mặt thựctiễn.Từ kết quả của Karl - Theodor Sturm về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùngphân phối [5], chúng tôi đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên nhậngiá trị trên không gian NPC toàn cục, sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớncho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian đó.Trước hết, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm về không gian NPC toàn cục theonghĩa của Alexandrov được sử dụng trong các bài báo [5] và [7].Định nghĩa 1.1. Cho ( N , d ) là không gian mêtric.i) Đường cong (liên tục) γ :[0,1] → N được gọi là trắc địa nếu d (γ 0 , γ 1 ) = ld (γ ),trong đón −1ld (γ ) : = sup{∑ d (γ tk , γ tk +1 ) | 0 = t0 < t1 < L < tn = 1}.k =0Ta còn ký hiệu trắc địa là t a γ t , t ∈[0,1].ii) ( N , d ) được gọi là không gian trắc địa nếu với bất kỳ γ 0 , γ 1 ∈ N , luôn tồn tạitrắc địa nối hai điểm đó.Định nghĩa 1.2. Không gian mêtric đủ ( N , d ) được gọi là không gian NPC(nonpositive curvature) toàn cục nếu :TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02i) Nó là không gian trắc địa,ii) Với bất kỳ trắc địa t a γ t , t ∈[0,1], với bất kỳ z ∈ N , ta có bất đẳng thức saud 2 ( z , γ t ) ≤ (1 − t )d 2 ( z , γ 0 ) + td 2 ( z , γ 1 ) − t (1 − t )d 2 (γ 0 , γ 1 ).(1)Không gian NPC toàn cục cũng được gọi là không gian Hadamard.Điều kiện (1) có nhiều ứng dụng quan trọng. Một trong những ứng dụng của (1) làvới hai điểm bất kỳ γ 0 , γ 1 trong không gian NPC toàn cục N, trắc địa γ :[0,1] → N nốihai điểm đó là duy nhất. Dưới đây là một số ví dụ về không gian NPC toàn cục.Ví dụ 1) Không gian Hilbert là không gian NPC toàn cục. Một không gian Banachlà không gian NPC toàn cục khi và chỉ khi nó là không gian Hilbert.Ví dụ 2) Không gian L2 ( M , N , µ ) gồm các ánh xạ đo được f : M → N từ khônggian độ đo (M, M , µ ) bất kỳ vào không gian NPC toàn cục ( N , d ) là không gian NPC12toàn cục với khoảng cách là d 2 ( f , g ) : =  ∫ d 2 ( f ( x ), g ( x ))µ ( dx)  .MVí dụ 3) Không gian mêtric (2, d p ) vớid pp (( x1 , x2 ), ( y1 , y2 )) = | x1 − y1 | p + | x2 − y2 | p , 1 < p < ∞, p ≠ 2không là không gian NPC toàn cục.Xét ( Ω , f, P) là không gian xác suất, g là σ-đại số con của f và ( N , d ) là khônggian NPC toàn cục.Định nghĩa 1.3.i) Cho Y , Z : Ω → N là các ánh xạ g-đo được. Ta gọi Y và Z là tương đương nếu Y= Z hầu chắc chắn.ii) Đặt11d 2 (Y , Z ) : = Ed 2 (Y , Z )()22Ω: =  ∫ d 2 ( Y (ω ), Z (ω ) )P (d ω ) vàd ∞ ( Y , Z ) : = ess sup d ( Y (ω ), Z (ω ) ) ,ω ∈ΩTẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02trong đó, ess sup f ( x) là cận trên cốt yếu của f theo nghĩa nó là giá trị bé nhất trongx∈Ωsố các giá trị chặn trên (hầu khắp nơi) của f.Khi đó, d 2 và d∞ là các mêtric trên không gian các ánh xạ g-đo được.Kí hiệu L2 (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ g-đo được Z : Ω → Nsao cho d 2 ( y, Z ) < ∞ , với y ∈ N và L∞ (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạg- đo được Z : Ω → N sao cho d ∞ ( y, Z ) < ∞ với y ∈ N .Như vậy, mỗi phần tử của L2 (g), L∞ (g) là một lớp tương đương. Từ đây trở về sau,nếu không sợ nhầm lẫn, chúng ta sẽ không phân biệt một ánh xạ đo được với lớp tươngđương của nó.Mệnh đề 1.1. ([5, Proposition 1.6 ]) Không gian L2 (g) với mêtric d 2 là không gianNPC toàn cục.Định nghĩa 1.4. Cho ánh xạ đo được Y : Ω → N . Ta gọiVgY=inf{ Ed 2 (Y , Z ) | Z : Ω → N là g - đo được}là phương sai có điều kiện trung bình của Y đối với g vàV(Y): = inf { Ed 2 ( z, Y ) | z ∈ N }là phương sai của Y.Định nghĩa 1.5. Cho (Yn ), Yn : Ω → N là dãy các phần tử ngẫu nhiên. Dãy (Yn ) đượcgọi là hội tụ về Yi) theo xác suất nếu với mọi ε > 0 ta có lim P ( d (Yn , Y ) > ε ) = 0 .n →∞PKí hiệu Yn →Y .()ii) hầu chắc chắn nếu P lim d (Yn , Y ) = 0 = 1 .n →∞h.c.c.Kí hiệu Yn →Y .iii) theo trung bình cấp r, (r > 0) nếu lim Ed r (Yn , Y ) = 0 .n →∞rLKí hiệu Yn →Y .Định nghĩa 1.6. Cho (Yn ), Yn : Ω → N là dãy các phần tử ngẫu nhiên. Dãy (Yn ) đượcgọi bị chặn đều h.c.c. nếu tồn tại hằng số C > 0 và phần tử z ∈ N sao choTẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02d (Yn , z ) ≤ C , h.c.c., ∀n ∈ .Định lý 1.1. ([5, Theorem 2.1]) Cho Y ∈ L2 (f ). Khi đói) Tồn tại duy nhất Z ∈ L2 (g) là điểm mà tại đó hàm Z a d 2 ( Z , Y ) đạt giá trị nhỏnhất. Ta kí hiệu Z là E(Y|g) hay EgY.ii) Với mỗi Z ∈ L2 (g), ta cóEd 2 ( Z , Y ) ≥ Ed 2 (EgY,Y)+ Ed 2 (EgY,Z)(2)Eg d 2 ( Z , Y ) ≥ Eg d 2 (Eg Y, Y) + d 2 (Eg Y, Z), h.c.c..(3)và2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNHTrong [5], Karl - Theoder Sturm đã định nghĩa tổng các phần tử ngẫu nhiên nhậngiá trị trong không gian NPC toàn cục ( N , d ), sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luậtmạnh số lớn cho tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. Chúng tôi mởrộng các kết quả này cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập.Định nghĩa 2.1.i) Cho dãy các phần tử ngẫu nhiên (Yn ), Yn : Ω → N và ( ...