Luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng kép các phần tử ngẫu nhiên

Trong bài viết này, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để mảng kép các phần tử ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) ((p, q)-type SLLN) trong trường hợp 1 ≤ q < p < 2.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng kép các phần tử ngẫu nhiênTrường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 5-13 LUẬT MẠNH SỐ LỚN DẠNG (p, q) CHO MẢNG KÉP CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN Vũ Thị Ngọc Ánh Khoa Toán, Trường Đại học Hoa Lư, Ninh Bình Ngày nhận bài 26/12/2018, ngày nhận đăng 14/02/2019 Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để mảng kép các phần tử ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) ((p, q)-type SLLN) trong trường hợp 1 ≤ q < p < 2.1 Giới thiệuKí hiệu B là không gian Banach thực, khả li với chuẩn k · k. Cho {Vn , n ≥ 1} là dãy cácphần tử ngẫu nhiên và {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trịtrên B. Kí hiệu n X m X X n Sn = Vk , n ≥ 1; Smn = Vkl , m ≥ 1, n ≥ 1. k=1 k=1 l=1 c,LqVn hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp q (q > 0) đến 0 (kí hiệu Vn −→ 0) nếu thỏa mãn ∞ X EkVn kq < ∞. n=1 c,LqVmn hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp q (q > 0) đến 0 (kí hiệu Vmn −→ 0) nếu thỏa mãn ∞ X X ∞ EkVmn kq < ∞. m=1 n=1 Luật mạnh số lớn dạng (p, q) trong trường hợp p = q = 1 của dãy các phần tử ngẫu nhiênđã được nghiên cứu vào năm 2011 bởi Li, Qi, Rosalsky [4]. Năm 2015, Li, Qi, Rosalsky [5]đã xây dựng điều kiện để Sn /n1/q+1/p hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp q đến 0 thông qualuật mạnh số lớn dạng (p, q) và chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) của dãy các phầntử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn, trong đó 0 < p < 2 và q > 0. Điều kiện cần và đủđể dãy các phần tử ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) trong một số trườnghợp của (p, q) được nghiên cứu vào năm 2016 bởi Li, Qi, Rosalsky [6]. 1) Email: vtnanh@hluv.edu.vn 5 Vũ Thị Ngọc Ánh/ Luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng kép các phần tử ngẫu nhiên Năm 2016, Anh, Thanh, Thuy [1] đã đưa ra khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) chomảng kép các phần tử ngẫu nhiên và chứng minh được luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéotheo luật mạnh số lớn của mảng kép các phần tử ngẫu nhiên, trong đó 0 < p < 2 và q > 0.Năm 2017, Anh, Thuy [2] đã xây dựng điều kiện để Smn /(mn)1/q+1/p hội tụ đầy đủ theotrung bình cấp q đến 0 thông qua luật mạnh số lớn dạng (p, q). Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng điều kiện cần và đủ để mảng kép các phần tửngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian ổn định loại p tuân theo luật mạnh số lớn dạng(p, q) trong trường hợp 1 ≤ q < p < 2.Định nghĩa 1.1. [1] Cho 0 < p < 2 và q > 0. Giả sử {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng cácphần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với phần tử ngẫu nhiên V nhận giá trị trênB. Ta nói {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) nếu ∞ X ∞ kSmn k q X 1 < ∞ h.c.c. (1.1) mn (mn)1/p m=1 n=1Định nghĩa 1.2. [4; pp. 1133] Cho 0 < p ≤ 2 và {Θn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiênổn định, độc lập, có cùng hàm đặc trưng ψ(t) = exp{−|t|p }, t ∈ R.Không gian B được gọi là không gian ổn định loại p nếu ∞ P P Θn νn hội n=1 tụ hầu chắc chắn,trong đó {νn , n ≥ 1} là dãy các phần tử trong B thỏa mãn ∞ n=1 kνn k p < ∞. Tính chất của không gian ổn định loại p, mối liên hệ giữa không gian ổn định loại p vàkhông gian Rademacher loại p có thể tìm thấy trong [4; pp. 1134].2 Kết quả chínhGiả sử {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối vớiphần tử ngẫu nhiên V nhận giá trị trên B. Đặt u0 = 0. Với m ≥ 1, n ≥ 1, kí hiệu 1 1 un = inf t : P (kV k ≤ t) > 1 − = inf t : P (kV k > t) < . n nVới q > 0, ta có q 1 q 1 inf t : P (kV k ≤ t) > 1 − = inf t : P (kV k > t) < = uqn . n n 1 Chú ý: uqn là phân vị cấp (1 − ) của kV kq . nĐịnh lý 2.1. Cho 1 ≤ q < p < 2 và B là không gian ổn định loại p. Khi đó {Vmn , m ≥1, n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) khi và chỉ khi EV = 0 và ...