Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Mục đích của luận án nhằm đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach tương đương với nhau. Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦYLUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNHĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 9460106 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, năm 2018 Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Lê Văn Thành 2. GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến Phản biện 1: PGS.TS. Ngô Hoàng Long Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 2: TS. Lê Hồng Sơn Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh Phản biện 3: PGS.TS. Phan Đức Thành Hội Toán học Nghệ An Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường Tại Trường Đại học Vinh Vào hồi 8h00’ ngày 30 tháng 01 năm 2019Có thể tìm hiểu luận án tại:- Thư viện Quốc gia Việt Nam- Trung tâm Thông tin – Thư viện Nguyễn Thúc Hào thuộc Trường Đại học Vinh 1 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài1.1. Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng địnhtrung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối hội tụ theo mộtnghĩa nào đó về kì vọng của các biến ngẫu nhiên đó. Trong nhiều năm gần đây,luật số lớn vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu. Luật sốlớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và nhiềulĩnh vực khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lýthuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.1.2. Logic tự nhiên của sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xácsuất đã dẫn đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trongnhững hướng tổng quát đó là từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiênnhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử nhận giá trị trong không gianBanach, hoặc từ các kết quả đã có đối với dãy mở rộng sang các kết quả đối vớimảng hai hay nhiều chỉ số các phần tử ngẫu nhiên. Có rất nhiều câu hỏi đượcđặt ra như “từ các kết quả cho dãy một chỉ số đã có, liệu rằng có thể thiết lậpđược các kết quả tương tự cho mảng nhiều chỉ số không?”, “phương pháp chứngminh các kết quả cho dãy một chỉ số có vận dụng được trong trường hợp mảngnhiều chỉ số không?”,... Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số định lýgiới hạn dạng luật số lớn mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trịtrong không gian Banach thực khả li. Các kết quả thu được đối với mảng hai chỉsố có thể tổng quát thành mảng nhiều chỉ số bằng phương pháp hoàn toàn tươngtự.1.3. Bên cạnh các dạng hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xácsuất, hội tụ theo trung bình, trong lý thuyết xác suất ta còn xét đến hội tụ đầyđủ theo trung bình. Hội tụ đầy đủ theo trung bình là một dạng hội tụ mạnh hơn 2hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình. Tuy nhiên, các kết quả về sự hội tụ nàychưa thật phong phú.1.4. Xác suất trên không gian Banach là một hướng nghiên cứu quan trọng củalý thuyết xác suất. Có rất nhiều định lý giới hạn đúng trong không gian thựcnhưng không còn đúng trong không gian Banach. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mìnhlà: “Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng cácphần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach”.2. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếusố lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banachtương đương với nhau. Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hộitụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trịtrong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2). Trong trường hợp không gianBanach không là không gian Rademacher dạng p, chúng tôi chứng minh được hộitụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn. Luận án cũng nghiên cứuđiều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tửngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Cuối cùng, chúng tôi trình bày cácdạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng một trong các bấtđẳng thức đó để chứng minh rằng luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảng cácphần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn.3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phânphối, độc lập không cùng phân phối và độc lập đôi một cùng phân phối nhận giátrị trong không gian Banach thực khả li.4. Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ theo trung bình vàsự hội tụ đầy đủ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không 3gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập và độc lập đôi một. Đồng thời,luận án cũng nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển nhưcác bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen cho mảng cácphần tử ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi vận dụng dạng tổng quát của bấtđẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảngcác phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn.5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theonhóm dưới sự chủ trì của thầy hướng dẫn, và trao đổi với các nhà khoa họctrong và ngoài nước. Các công cụ chủ yếu sử dụng trong luận án là các bất đẳngthức cực đại như bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thứcHoffmann-Jørgensen, bất đẳng thức Ottaviani, bất đẳng thức ...