Luật mạnh số lớn cho các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một trong không gian Banach

Bài viết thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một nhận giá trị trong không gian Banach. Để nắm nội dung mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luật mạnh số lớn cho các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một trong không gian Banach TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT TRONG KHÔNG GIAN BANACH Nguyễn Thị Nga1 TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một nhận giá trị trong không gian Banach. Từ khoá: Luật mạnh số lớn (SLLN), hội tụ hầu chắc chắn (Hcc), compact khả tích đều (CUI). 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Lý thuyết xác suất trên không gian Banach là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ, thu được nhiều kết quả sâu sắc. Trong bài báo này chúng tôi chứng minh một bổ đề về luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên thực đôi một độc lập. Từ đó chúng tôi thu được luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên đôi một độc lập nhận giá trị trong không gian Banach. 2. NỘI DUNG 2.1. Phần chuẩn bị Trong bài báo này W, , P là không gian xác suất đầy đủ. X là không gian Banach, không gian liên hợp của X được ký hiệu là X* và B( X ) là - đại số các tập Borel của X . Định nghĩa 2.1.1 Ta nói ánh xạ X : W ® X là một phần tử ngẫu nhiên nếu X -1 ( B ) Î với mọi B Î B( X ). Dưới đây, ta nêu lên một số khái niệm hội tụ của họ các phần tử ngẫu nhiên. Định nghĩa 2.1.2 Giả sử X , X n : n ³ 1 là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên W và nhận giá trị trong X . Ta nói dãy X n : n ³ 1 hội tụ đến phần tử ngẫu nhiên X : Theo xác suất nếu với mọi > 0 thì lim P X n - X > n ®¥ =0 Hầu chắc chắn nếu P lim X n - X = 0 = 1 n ®¥ Định nghĩa 2.1.3. Dãy các phần tử ngẫu nhiên X n : n ³ 1 gọi là “Compact khả tích đều” nếu với mỗi 1 > 0 , tồn tại tập compact của X sao cho Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 115 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 sup E X n I X n Ï £ . n ³1 Giá trị kỳ vọng của một phần tử ngẫu nhiên được định nghĩa bởi tích phân Pettis [6] như sau: Định nghĩa 2.1.4. Giả sử X : W ® X là một phần tử ngẫu nhiên. Phần tử EX Î X được gọi là kỳ vọng của X nếu: f ( EX ) = E ( f ( X )) với mọi f Î X * . 2.2. Luật mạnh số lớn cho các phần tử ngẫu nhiên đôi một độc lập Để thiết lập kết quả chính trong phần này, đầu tiên ta cần chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.2.1. Cho X i : i ³ 1 là dãy các biến ngẫu nhiên không âm đôi một độc lập với moment bậc hai hữu hạn sao cho: (a) sup EX i < ¥ i ³1 (b) EX i2 1, đặt nk = [a k ] . Với C là một hằng số tuỳ ý nào đó và là số dương bất kỳ, theo bất đẳng thức Chebyshev ta có nk EX i2 ¥ å ¥ æ S nk - ES nk ö 1 ¥ VarSnk EX i2 i =1 Pç > ÷£ 2å £ Cå £ Cå 2 < ¥ theo (b) å ç ÷ nk nk2 nk2 k =1 k =1 k =1 i =1 i è ø Sn - ESnk hcc ¾¾® 0, khi n ® ¥ Bởi bổ đề Borel-Cantelli, ta thu được k nk ¥ Với mỗi n nguyên dương, tồn tại số tự nhiên k sao cho nk £ n < nk +1 . Ta có đánh giá sau: S n - ES nk +1 nk +1 ES nk +1 - ES nk Sn - ESn S nk +1 - ES nk +1 ES nk +1 - ESnk £ + £ k +1 . + n n n nk +1 nk nk và Sn - ESnk ESnk +1 - ES nk Sn - ESnk nk +1 ES nk +1 - ES nk S n - ESn ³- k ³- k . n n n nk nk nk Khi n ® ¥ thì k ® ¥ . Từ đó kéo theo S - ESn limsup n £ sup( EX i ) a - 1 n n ®¥ i 116 hcc TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 liminf n ®¥ Sn - ESn ³ - sup( EX i ) a - 1 n i hcc Cho a ¯ 1 ta thu được điều phải chứng minh Định lý 2.2.2. Cho X i : i ³ 1 là dãy các phần tử ngẫu nhiên đôi một độc lập và CUI. Giả sử ¥ å E Xi i2 i =1 2 < ¥ , khi đó ta thu được luật mạnh số lớn n å i =1 X i - EX i hcc ¾¾® 0, khi n ® ¥ n Chứng minh. > 0 , từ giả thiết suy ra tồn tại tập compact Với E X i I Xi Ï với mọi i . Từ tính compact của < của X sao cho , tồn tại hữu hạn các điểm p Ì U B ( xt , ) , với B( xt , ) = x Î X : x - xt < x1 , x2 ,..., x p sao cho . t =1 Với mỗi i ³ 1 , ta định nghĩa phần tử ngẫu nhiên sau Yi = Z i I ( X i Î ), j -1 p é ù với Z i = x1I X i Î B ( x1 , ) + å x j I ê X i Î B ( x j , ) Ç U B ( xk , ) c ú j =2 k =1 ë û Ta thấy Yi là phần tử ngẫu nhiên nhận hữu hạn giá trị và dãy Yi : i ³ 1 là đôi một độc lập. Bởi bất đẳng thức tam giác, ta có X i - EX i £ å n i =1 n + X i - Xi I ( X i Î å n i =1 n n å i =1 EYi - EX i I ( X i Î n ) X I(Xi Î + å i n i =1 n ) + n å i =1 ) - Yi EX i I ( X i Î n + n å i =1 Yi - EYi n ) - EX i := ( A1 ) + ( A2 ) + ( A3 ) + ( A4 ) + ( A5 ) Bây giờ ta sẽ đánh giá lần lượt tương ứng từ ( A1 ) - ( A5 ) : Với ( A1 ) , ta có ( A1 ) = n å i =1 Xi I ( X i Ï n 1 n å Xi I ( X i Ï n i =1 1 n £ å Xi I ( X i Ï n i =1 £ ) ) - E Xi I ( X i Ï ) + ) - E Xi I ( X i Ï ) + 1 n å E Xi I ( X i Ï n i =1 ) 117 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 Và ¥ å ) : i ³ 1 là độc lập đôi một với sup E Xi I ( X i Ï Xi I ( X i Ï Để ý rằng dãy E Xi I ( X i Ï i i =1 2 ) i ³1 ¥ £å E Xi ...