Tài liệu Đạo hàm-vi phân

Tài liệu Đạo hàm-vi phân sau đây cung cấp kiến thức tổng quan về các dạng đạo hàm-tích phân, từ đó đưa ra các bài tập vận dụng cụ thể cho từng dạng. Giúp các bạn dễ nắm kiến thức và áp dụng trong việc giải bài tập được hiệu quả hơn. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu Đạo hàm-vi phânĐẠO HÀM-VI PHÂN • Dạng 1: Tính đạo hàm của các hàm sơ cấp, đường cong chứa tham số Sinh viên cần xem lại: - Bảng công thức tính đạo hàm trang 92. - Công thức trang 139 (dành cho đường cong có chứa tham số). Ví dụ 1. Tính đạo hàm của (dạng ) Bài tập tương tự: Bài 1, 9. • Dạng 2: Khảo sát tính khả vi/ liên tục của hàm số tại một điểm Lưu ý: chiều ngược lại của (2) không đúng, sinh viên tìm một ví dụ minh họa cho chiều ngược lại của (2). Ví dụ 2. Cho hàm số a) Chứng minh rằng hàm số gián đoạn tại khi b) Khi hàm số có khả vi tại hay không? Giải a) tính Xét Chọn dãy khi thì và b) Xét Giới hạn trên không tồn tại nên hàm số trên không khả vi tại x=0 khi n=1. Bài tập tương tự: Bài 2, 21, 22. • Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm ngượcThái Trần Phương Thảo 1 Sử dụng công thức trang 90 , khi sử dụng công thức này cần kiểm tra điều kiện: 1. là hàm đơn điệu tăng (có thể chứng minh thông qua đạo hàm) 2. ( miền xác định của hàm số y). Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số ngược MXĐ: Ta có: • là hàm đơn điệu tăng. • . Suy ra và . Bài tập tương tự: Bài 6b • Dạng 4: Tính đạo hàm của hàm ẩn Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của hàm số , biết là hàm theo biến Ta có: • là hàm đơn điệu tăng. • . Suy ra và . Bài tập tương tự: Bài 7, 8, 11 Một số lưu ý khi giải bài tập 8 và 11 Cho đường cong trong đó là hàm số có đạo hàm và liên tục. Khi đó, ph ương trình ti ếp tuyến với đường cong tại điểm có dạng phương trình pháp tuyến tại có dạng • Dạng 5: Đạo hàm – vi phân cấp cao Phương pháp tính đạo hàm cấp cao: 1. Sử dụng đạo hàm cấp cao của một số hàm đã biết.Thái Trần Phương Thảo 2 2. Phân tích thành tổng các hàm đơn giản. 3. Phân tích thành hai hàm trong đó là hàm đa thức, là một hàm đã biết rồi sử dụng công thức Leibnitz. 4. Sử dụng khai triển Taylor, Maclaurint. Ví dụ 5. . Ví dụ 6. Tính biết . Sử dụng công thức . Ví dụ 7. Tính biết . Vì nên Ta có : • • • Bài tập tương tự: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) c) d) Bài 5 • Dạng 6: Khai triển Taylor – Maclaurint Sinh viên cần phân biệt phần dư viết dưới dạng Peano và phần dư vi ết dưới dạng Lagrange. Phần dư là một vô cùng bé bậc cao hơn Khi ta không quan tâm đến phần dư ta sử dụng phần dư dạng Peano .Thái Trần Phương Thảo 3 Khi ta cần đánh giá phần dư ta sử dụng phần dư dạng Lagrange. Ví dụ 8. Tính gần đúng với độ chính xác là . Phần dư Lagrange trong khai triển của hàm là Suy ra: Ví dụ 9. Tìm khai triển Taylor tại đến cấp 3 của hàm Đặ t Ví dụ 10. Tìm khai triển Taylor tại đến cấp 3 của hàm Đặ t Bài tập tương tự: Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau: a) tại b) c) d) , e) , Bài 12, 19 Lưu ý khi giải bài tập 12 xem ví dụ 2.21 trang 119 Lưu ý khi giải bài tập 19 Sử dụng công thức hoặc • Dạng 7: Các định lý giá trị trung bình Các bài tập liên quan đến định lý Lagrange thường dùng để chứng minh các bất đ ẳng thức (một hàm) hoặc tìm số c trong định lý Lagrange. Các bài tập liên quan đến định lý Cauchy thường dùng để chứng minh các b ất đ ẳng thức bao gồm hai hàm khác nhau.Thái Trần Phương Thảo 4 Ví dụ 11. Chứng minh bất đẳng thức Hàm liên tục và khả vi trên đoạn . Áp dụng định lý Lagrange tồn tại Ví dụ 12. Tìm số trong định lý Lagrange của hàm số trên liên tục trên liên tục trên khả vi trên khả vi trên Áp dụng định lý Lagrange ta được . Ví dụ 13. Dùng định lý Rolle chứng minh có 2 nghiệm phân bi ệt v ới Tìm hai nghi ệm đó. Giải liên tục trên liên tục trên khả vi trên khả vi trên Áp dụng định lý Rolle . CM tương tự trên đoạn Bài tập tương tự: Các dạng bài tập sử dụng định lý Rolle 1. Chứng minh rằng nếu liên tục trên khoảng đóng , kh ả vi trên kho ảng m ở và thì với thì (Gợi ý : chọn hàm , sử dụng định lý Rolle cho hàm này). 2. Cho và là hai hàm liên tục trên , khả vi trên khoảng và giả sử CMR (Gợi ý : chọn hàm , sử dụng định lý Rolle cho hàm này). 3. Cho , chứng minh rằng nếu thì phương trình có ít nhất m ột nghi ệm trong kho ảng (0,1). (Gợi ý : chọn hàm , sử dụng định lý Rolle cho hàm này). Các dạng bài tập sử dụng định lý L ...