Tài liệu Tenseur - cơ học môi trường liên tục

Tham khảo tài liệu tài liệu tenseur - cơ học môi trường liên tục, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu Tenseur - cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG 1 : MỞ ĐẦU I. Vecteur h×nh häc vµ kh«ng gian R3: A. VÝ dô: C hóng ta tiÕn hµnh xÐt bµi to¸n chuyÓn ®éng trßn ®Òu. VÞ trÝ cña®iÓm M ë thêi ®iÓm t ® − îc x¸c ®Þnh bëi vect¬ OM . ë ®©y, ta thÊy vect¬vËn tèc v vu«ng gãc víi vÐc t¬ OM ( VÐc t¬ vÞ trÝ). V ⊥ OM ⇔ V . OM = 0 Gia tèc h− íng t©m: γ = - ( γ/R) OM MÆt kh¸c ta cã: Lùc h −íng t©m F = mγ V ect¬ vÞ trÝ OM l µ mét bé phËn cña kh«ng gian ph¼ng bao gåm®iÓm gèc: §©y lµ kh«ng gian h×nh häc hai chiÒu. M«®un || OM || ®ångnhÊt trªn toµn bé chiÒu dµi || OM || = R. ë ® ©y chóng ta cÇn ph©n biÖt OM víi c¸c vect¬ V v µ F . Theoquan ®iÓm vËt lý, OM v µ V , γ , F thuéc nh÷ng kh«ng gian kh¸c nhau.Ta nhËn thÊy sÏ kh«ng cã kh¸i niÖm vu«ng gãc ( V ⊥ OM ) hay tÝch v«h −íng ( V . OM ) nÕu V vµ OM trong cïng mét kh«ng gian. 1 V Ëy t¹i sao ta cã c¸c kh¸i niÖm vu«ng gãc vµ tÝch v« h −íng? Lµdo ta cè t×nh ®− a tÊt c¶ c¸c vÐc t¬ vÒ cïng mét kh«ng gian duy nhÊt.Trong thùc tÕ, ta th− êng biÓu diÔn c¸c vect¬ V v µ F trªn cïng mét têgiÊy. Ta gäi ®©y lµ kh«ng gian h×nh häc ph¼ng. Khi nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm trong kh«ng gian, c¸cvect¬ vËn tèc, gia tèc ® −îc xem xÐt nh− lµ nh÷ng vect¬ cña mét kh«nggian 3 chiÒu (lu«n ®− îc ph©n tÝch thµnh 3 thµnh phÇn). B. Sù hîp nhÊt gi÷a c¸c kh«ng gian Khi nh÷ng ®¹i l −îng vËt lý cã nh÷ng ®Æc ®iÓm to¸n häc t−¬ng®ång (3 chiÒu; tu©n theo nh÷ng quy t¾c tÝnh to¸n gièng nhau) th× chóngta coi nh÷ng ®¹i l −îng ®ã lµ c¸c yÕu tè cña kh«ng gian R3 . Kh«ng gianvect¬ h×nh häc ®−îc gäi lµ “biÓu diÔn cã thÓ cã” cña R3 ( PrÐsentationpossible). Mét c¸ch tæng qu¸t h¬n, khi nh÷ng ®¹i l− îng cã b¶n chÊt vËt lýkh¸c nhau thuéc nh÷ng kh«ng gian to¸n häc cã cïng n chiÒu vµ tu©ntheo cïng mét quy t¾c tÝnh to¸n, chóng ta coi nh÷ng ®¹i l− îng nµy nh−lµ nh÷ng bé phËn cña cïng mét tËp hîp: kh«ng gian vect¬ Rn . II.Quy −íc: KÝ hiÖu Einstein A . ChØ sè c©m: XÐt c¸c chØ sè i vµ j (i, j = 1, n ) vµ ma trËn víi c¸c thµnh phÇn: xij. Gi¶ thiÕt r»ng chóng ta tiÕn hµnh tÝnh víi mçi gi¸ trÞ cña i, tÝnhtæng cña c¸c thµnh phÇn khi j tõ 1 ®Õn n. VÝ dô: Víi mçi dßng cña ma trËn ta tÝnh tæng c¸c thµnh phÇn cãchØ sè cét biÕn ®æi. x 11 x 12 x 13 t 1 = x11 + x 12 + x 13 x 21 x 22 x 23 t 2 = x21 + x 22 + x 23 x 31 x 32 x 33 t 3 = x31 + x 32 + x 33 Ta cã thÓ viÕt d − íi d¹ng tæng qu¸t: n ∑ ti = X ij j =1 2 ChØ sè j, theo nã mµ ng−êi ta cã thÓ tÝnh tæng tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ® −îc gäi lµ chØ sè c©m. HiÓn nhiªn lµ chóng ta cã thÓ thay ®æi kÝ hiÖu cña chØ sè c©m: n n ∑ t i = ∑ X ij ≡ t i = X ik k =1 j =1 B . Quy − íc cña Einstein: XÐt hai ma trËn vu«ng (n, n): A vµ B. C¸c thµnh phÇn cña chónglÇn l−ît lµ aij vµ b ij. ChØ sè dßng quy −íc phÝa tr¸i. ChØ sè cét quy − íc ë phÝa ph¶i. Ta tiÕn hµnh tÝnh tÝch P = A.B víi c¸c thµnh phÇn Pij. Khi ®ã: n ∑ P ij = ail b lj b 11 b12 b 13 l =1 b 21 b22 b 23 b 31 b32 b 33 a11 a12 a13 p 11 p12 p 13 a21 a22 a23 p 21 p22 p 23 a31 a32 a33 p 1 p 32 p33 E instein quy −íc chØ sè c©m xuÊt hiÖn hai lÇn trong mét biÓuthøc. Khi ®ã ta bá dÊu Σ v µ viÕt mét chØ sè ë trªn vµ mét chØ sè ë d− íi. n p ij = ∑ ak a k ≡ p ij = ak a k i i j j k =1 T rong ®ã : p ij V íi i lµ chØ sè dßng cßn j lµ chØ sè cét. VÝ dô: n p ijk = ∑ qli rjk p ijk = qli rjk l ...