TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN và SỐ NGUYÊN TỐ

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó, hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước, số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN và SỐ NGUYÊN TỐTrư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 PH N S H C Bài 1: TÍNH CHIA H T TRÊN T P H P S NGUYÊN. S NGUYÊN T .A. Nh c l i và b sung các ki n th c c n thi t:I. Tính chia h t:1. nh lí v phép chia: V i m i s nguyên a,b (b ≠ 0), bao gi cũng có m t c p snguyên q, r sao cho : a = bq + r v i 0 ≤ r < b . a g i là s b chia , b là s chia, q là thương và r là s dư.Trong trư ng h p b > 0 và r ≠ 0 có th vi t: a = bq + r = b(q +1)+ r - b.Ví d : M i s nguyên a u có d ng: a = 2q ± 1 (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q ± 1 (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ± 1 ; 4q ± 2 (xét phép chia cho b = 4). a = 5q; 5q ± 1; 5q ± 2 (xét phép chia cho b = 5) ......................2. Tính chia h t: N u a chia b mà s dư r = 0, ta nói : a chia h t cho b hay a là b i c a b (kí hi u a M b) b chia h t a hay b là ư c c a a (kí hi u b a)V y: a M b (b a) khi và ch khi có s nguyên q sao cho a = bq.3. Các tính ch t: 1) N u a M b thì ± a M ± b (b ≠ 0) 2) a M a; 0 M a v i m i a ≠ 0 3) a M ± 1 v i m i a 4) N u a M m thì an M m (m ≠ 0, n nguyên dương). 5) N u a M b và b M a thì |a| = |b| 6) N u a M b và b M c (b,c ≠ 0) thì a M c. 7) N u a M c và b M c(c ≠ 0) thì (a ± b) M c. i u ngư c l i không úng. 8) N u a M m ho c b M m thì ab M m(m ≠ 0). i u ngư c l i không úng. 9) N u a M p và a M q, (p, q)= 1 thì a M pq 10) N u a = mn; b = pq và m M p n M q thì a M b 11) N u ab M m và (b,m) = 1 thì a M m 12) N u a ± b M m và a M m thì b M mII. S nguyên t :1. nh nghĩa: S nguyên t là s t nhiên l n hơn 1, ch có hai ư c là 1 và chính nó. H p s là s t nhiên lơn hơn 1 có nhi u hơn hai ư c. S 1 và s 0 không ph i là s nguyên t cũng không ph i là h p s .2. nh lí cơ b n c a s h c: M i s t nhiên l n hơn 1 u phân tích ư c ra th a snguyên t m t cách duy nh t(không k th t các th a s ). S nguyên t ư c coi như là tích ch g m m t th a s là chính nó. Có vô s s nguyên t (không có s nguyên t l n nh t). S hoàn ch nh: là s b ng t ng các ư c c a nó không k b n thân nó. Ví d : 6 , 28, ... , 2n-1(2n - 1)III. M t s phương pháp thông thư ng gi i bài toán v chia h t:Cách 1: ch ng minh A(n) chia h t cho k, có th xét m i trư ng h p s dư khi 1Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011chia n cho k.Ví d 1: Ch ng minh r ng: a) Tích c a hai s nguyên liên ti p chia h t cho 2. b) Tích c a ba s nguyên liên ti p chia h t cho 3.Gi i : a) Vi t tích c a hai s nguyên liên ti p dư i d ng A(n) = n(n + 1).Có hai trư ng h p x y ra : * n M 2 => n(n + 1) M 2 * n không chia h t cho 2 (n l ) => (n + 1) M 2 => n(n +1) M 2 b) Ch ng minh tương t a.Cách 2: ch ng minh A(n) chia h t cho k, có th phân tích k ra th a s : k = pq . + N u (p, q) = 1, ta ch ng minh A(n) M p và A(n) M q. + N u (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) r i ch ng minh: B(n) M p và C(n) M q .Ví d 2: a) Ch ng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) M 6. b) Ch ng minh: tích c a hai s ch n liên ti p chia h t cho 8. Gi i : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo ch ng minh trên ã có A(n) chia h t cho 2 và 3.Do ó A(n) chia h t cho 6. b) Ta vi t A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1). 8 = 4 . 2. Vì 4 M 4 và n(n +1) M 2 nên A(n) M 8Ví d 3 : Ch ng minh r ng n5 - n chia h t cho 10, v i m i s nguyên dương n. (Trích thi HSG l p 9 c p t nh năm h c 2005 - 2006) Gi i : A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1) M 2 n = 5k + 1 => (n - 1) M 5 n = 5k + 4 => (n + 1) M 5. n = 5k + 2 => n2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = (25k2 + 20k + 4 + 1) M 5 n = 5k + 3 => n2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = (25k2 + 30k + 9 + 1) M 5V y : A(n) chia h t cho 2 và 5 nên ph i chia h t cho 10.Cách 3: ch ng minh A(n) chia h t cho k , có th bi n i A(n) thành t ng(hi u) u chia h t cho k . ( ã h c trong tínhc a nhi u h ng t , trong ó m i h ng tch t chia h t c a m t t ng l p 6)(Liên h : A(n) không chia h t cho k ...)Ví d 4: Ch ng minh n3 - 13n (n > 1) chia h t cho 6. (Trích thi HSG c p II toàn qu cnăm 1970).Gi i : n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n(n - 1)n(n + 1) là tích c a 3 s t nhiên liên ti p nên chia h t cho 6 ; 12n M 6 . Do óA(n) M 6Ví d 5: Ch ng minh n2 + 4n + 5 không chia h t cho 8 , v i m i s n l .Gi i : V i n = 2k +1 ta có:A(n) = n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = 4k2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 5 = 4k(k + 1) + 8(k + ...