Tính hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân dạng đa diện có trễ

Bài viết Tính hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân dạng đa diện có trễ trình bày một số kiến thức chuẩn bị, sau đó nêu định nghĩa về tính hút mũ của nghiệm và một điều kiện đủ cho tính hút mũ. Cuối cùng là điều kiện đủ cho tính hút mũ của nghiệm tầm thường cho hệ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân dạng đa diện có trễ Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN:978-604-82-2548-3 TÍNH HÚT MŨ TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG ĐA DIỆN CÓ TRỄ Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG nghiệm và một điều kiện đủ cho tính hút mũ. Cuối cùng là điều kiện đủ cho tính hút mũ của Bao hàm thức vi phân có trễ là mô hình cho nghiệm tầm thường cho hệ (1.1)-(1.2).nhiều bài toán khác nhau, điển hình là các bàitoán điều khiển có phản hồi đa trị. Nghiên cứu 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨUsự tồn tại nghiệm và dáng điệu nghiệm là haitrong số những trụ cột khi nghiên cứu định Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phươngtính về các hệ vi phân. Dáng điệu nghiệm pháp ước lượng tiên nghiệm.trong khoảng thời gian hữu hạn có ứng dụngvào một số bài toán liên quan đến quá trình 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨUsinh hóa (biochemical networks), quá trình 3.1. Kiến thức chuẩn bịchuyển đổi tín hiệu, điều khiển trong khoảngthời gian hữu hạn… ở đó các quá trình cần Cho E là không gian Banach. Các không 1quan sát chỉ xảy ra trong khoảng thời gian gian: C([0; T];E ), L (0, T; E) lần lượt là khôngngắn. Từ đó nảy sinh hướng nghiên cứu về hệ gian các hàm liên tục và khả tích Bochner.động lực thời gian hữu hạn, trong những năm Ngoài ra, ta cần các khái niệm sau về nửagần đây hướng nghiên cứu này đã thu hút nhóm (xem [3]).được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Định nghĩa 1. Cho {S(t)}t 0 là một C0 -Sử dụng khái niệm được nêu ra trong [2], tôi nửa nhóm trên E , {S(t)}t 0 được gọi là:đi tìm điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của i) ổn định mũ nếu tồn tại các sốhệ sau đây hút mũ trong trên [0; T]: M  1,  0 sao cho: S(t)  Me t ,  t  0;  u (t)  Au(t)  F(t,u t ), t  [0,T] (1.1)  ii) compact nếu S(t) là toán tử compact  u(t)  (t), t  [  h, 0] (1.2) với mỗi t  0 ;với u lấy giá trị trong không gian Banach X, iii) liên tục theo chuẩn nếu t a S(t) là liênA là toán tử sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh tục với t 0.{S(t): t  0}, ut là hàm trễ của hàm u và Khái niệm về tính hút mũ của nghiệm cho F(t, u t )  co{f1 (t, u t ); f 2 (t,u t ); ....; f n (t,u t )} hệ (1.1)-(1.2) được tương tự hóa từ khái niệmvới các hàm đơn trị fi (t,u t ), i  1,...,n xác cho trường hợp vi phân thường được P. Gieslđịnh trên [0,T]  C([-h, 0]; X) . Hàm  cho và M. Rasmussen đưa ra trong [2]. Ở địnhtrước và là dữ kiện đầu. nghĩa dưới đây, ||  || C được hiểu là chuẩn h Sự tồn tại nghiệm của hệ (1.1)-(1.2) đã trong C([0; T];E ) và S( ) là tập nghiệm củađược chỉ ra trong [1], trong bài báo này tôinghiên cứu về tính ổn định của nghiệm. Phần (1.1)-(1.2) với điều kiện đầu . còn lại của bài báo được sắp xếp như sau: Định nghĩa 2. Giả sử  : [0,T]  X là mộtTrước hết, tôi nhắc lại một số kiến thức chuẩn nghiệm của hệ (1.1) - (1.2). Nghiệm  đượcbị, sau đó nêu định nghĩa về tính hút mũ của gọi là hút mũ trên [0,T] nếu: 145Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 1 3.2. Tính hút mũ trên [0,T] của nghiệm lim sup sup sup u T  T Ch  1. ] 0  B (  ) u S( ) tầm thường Bổ đề dưới đây nêu một điều kiện đủ cho Nhằm thu được tính hút mũ của nghiệmtính hút mũ. tầm thường trên [0,T] , ta cần các giả thiết sau Bổ đề 1. Giả sử  là một nghiệm của hệ (A*) Nửa nhóm S(t),t  0 là liên tục theo(1.1) - (1.2). Khi đó  là hút mũ trên [0,T] chuẩn và ổn định mũ, tức là uT  T Ch | S(t)  N et ,  t  0,nếu lim sup sup  1.  C 0 uS(  ) C trong đó N  1,   0 . h h Để thu được sự tồn tại nghiệm tích phân, đặt (F*) Giả sử hàm F thỏa mãn (F) và J  [0, T], Ch  C([ h, 0]; X), (1) fi (t, 0)  0 , với i  1, n ; C  {v  C(J; X) : v(0)  (0)},  Ch . (2) fi (t, )  C1 ( Ch ) với mỗi t  J , i  1, n ; Với v  C , hàm v[]  C([  h,T];X) xác t (3) Nếu 0  v(t)  C 0 m(s) (v(s))ds,  v(t) khi t  [0,T],định như sau v[](t )   trong đó v là một hàm ...