Tính ổn định của nghiệm kỳ dị của mô hình tăng trưởng solow

Mô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phương trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị. Bài toán này với điều kiện ban đầu y(0) 0  luôn luôn cho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị. Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bài toán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính ổn định của nghiệm kỳ dị của mô hình tăng trưởng solowNguyễn Văn Minh và ĐtgTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ124(10): 45 - 47TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MÔ HÌNHTĂNG TRƯỞNG SOLOWNguyễn Văn Minh1*, Nguyễn Văn Thảo2 Nguyễn Thị Thu Hằng11TrườngĐại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh - ĐH Thái Nguyên2Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái NguyênTÓM TẮTMô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phươngtrình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị. Bài toán này với điều kiện ban đầu y (0)  0 luôn luôncho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị. Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bàitoán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm. Trong bài báo này chúng tôinghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow.Từ khóa: Bài toán Cauchy, phương trình vi phân, tăng trưởng kinh tế, mô hình kinh tế, mô hìnhtăng trưởng Solow, trạng thái ổn địnhMÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW*Mô hình tăng trưởng Solow được mô tả bởibài toán Cauchy sau đây(1.1)k (t )  s. f (k (t ))  .k (t )(1.2)k (0)  k0K (t )Với k (t ) là tỷ số vốn/lao động. BiếnL(t )này biểu thị hàm lượng vốn tính bình quântrên một đơn vị lao động. s là hằng số dươngnhỏ hơn 1, biểu thị tiết kiệm cận biên.  làhệ số tăng trưởng lao động. k0 K (0)làL(0)điều kiện ban đầu, biểu thị tỷ số vốn/lao độngtính tại thời điểm ban đầu.Nghiên cứu về định tính của bài toán (1.1)(1.2) đã được trình bày trong hầu hết các tàiliệu về toán kinh tế.Trong bài báo này ta quan tâm phân tích địnhlượng và đặc biệt là tính không ổn định củanghiệm kỳ dị của bài toán (1.1)-(1.2).PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNGXét trường hợp hàm sản xuất là hàm CobbDouglas có dạngQ(t )  aK (t ) L(t )1(a  0;0    1)Khi đó bài toán (1.1)-(1.2) được viết lại:*k (t )  .k (t )  s.ak (t )k (0)  k0(2.3)(2.4)Phương trình (1.3) là phương trình Bernoulli.Phương trình này luôn luôn có hai nghiệm,trong đó một nghiệm là nghiệm tổng quát,một nghiệm là nghiệm kỳ dị:Nghiệm tổng quát1sa  1y  c.e  (1 )t   ,ở đây c là hằng số tích phân.Nghiệm kỳ dị y  0.Bài toán Cauchy (2.3)-(2.4) tùy theo giá trịcủa k0 mà bài toán có duy nhất nghiệm hayhai nghiệm, có hai trường hợp xảy ra:Trường hợp 1. Nếu k0  0 , bài toán (2.3)(2.4) cho nghiệm duy nhất là:1s.a    (1 ) t s.a  1k (t )   k01 e  Trường hợp 2. Nếu k0  0 , bài toán (2.3)(2.4) có hai nghiệm là:k1 (t )  0(2.5)111s.a 1  sa 1 s.ak2 (t )   e (1 )t      1  e (1 )t 1  (2.6)Tel: 0912 119767, Email: nvminh1954@gmail.com45Nguyễn Văn Minh và ĐtgnghĩaTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆTừýcủa điều kiện ban đầuk0 K (0), ta thấy khi k0  0 , dẫn tớiL(0)K(0)=0.Ta xét giới hạn của (2.5) và (2.6)lim k1 (t )  0t  s.a   (1 )t s.a lim k2 (t )  lim  et t    as  11(2.7)11i  1,..., nNếu trong số các nghiệm của phương trìnhđặc trưng của xấp xỉ thứ nhất tồn tại dù chỉmột nghiệm có phần thực dương thì nghiệmkhông của hệ không ổn định.ndyi  aij y j  Y i ( y1 ,... yn ),dtj 1i  1,..., nf (k )  k  s.a.k Từ hai giới hạn ở trên xuất hiện một vấn đề:mô hình tăng trưởng Solow với điều kiện banđầu không có vốn, trạng thái của nền kinh tếcó thể rơi vào (2.7) hoặc (2.8). Một câu hỏiđược đặt ra: khi thời gian đủ lớn, k(t) tiến tớiđâu? Tiến tới (2.7) hay (2.8)?Để trả lời cho câu hỏi trên, ta phải xét tính ổnđịnh theo nghĩa Liapunov của mỗi nghiệm(4.1)Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2, ta đượcf (k )    s.a. k  1f (k )  s.a. (  1)k   2Vì 0    1,  f (k )  0 k  0 , do đóf (k ) là hàm nghịch biến theo k. Mà phươngtrìnhf (k )    s.a. k  1  0 có nghiệm1k1 (t ); k2 (t ).ỔN ĐỊNH LIAPUNOVĐể dễ theo dõi, chúng tôi nhắc lại một sốkhái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định.Trong mục này chúng ta xét phương trình(3.1)Định nghĩa 3.1a) Nghiệm không của phương trình (3.1) đượcgọi là ổn định theo nghĩa Liapunov nếu với  0;   0 sao cho từ bất đẳng thức|| y (0) ||  , suy ra bất đẳng thức|| y (t ) ||  t  0 ; ở đây, y(t) là ký hiệumột nghiệm bất kỳ của (3.1), xác định bởiđiều kiện y(0).b) Nghiệm không được gọi là ổn định tiệmcận theo nghĩa Liapunov, nếu nó ổn định vàlim || y (t ) || 0t Định lý 3.1Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặctrưng của xấp xỉ thứ nhất có phần thực âm thìnghiệm không của hệ ổn định tiệm cận.46ndyi  aij y j  Y i ( y1 ,... yn ),dtj 1ỔN ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH SOLOWk (t )  .k (t )  s.a.k (t )Đặt(2.8)dy(t ) Y ( y(t ), t )dt124(10): 45 - 47 sa 1 .k  k*    Từ lập luận trên ta thấy f ( k )  0 vớik  (0;1) và f (0)  0; f (0)   .Sau đây ta phân tích định tính bằng phươngpháp mặt phẳng pha, muốn vậy, ta dựng hệtrục tọa đồ đề các vuông góc Okf, trên ...