Tính toán năng lượng tự do của hệ Spin trong màng mỏng sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm

Bài viết Tính toán năng lượng tự do của hệ Spin trong màng mỏng sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm trình bày: Sử dụng biểu thức năng lượng tự do này để tìm sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa của hệ khi có trường ngoài, kết quả tìm được khá phù hợp với kết quả của hệ 2 chiều tìm được bằng phương pháp hàm Green,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính toán năng lượng tự do của hệ Spin trong màng mỏng sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàmTÍNH TOÁN NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA HỆ SPINTRONG MÀNG MỎNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁPTÍCH PHÂN PHIẾM HÀMPHẠM HƯƠNG THẢOTrường Đại học Sư phạm - Đại học HuếTóm tắt: Một biểu diễn tích phân phiếm hàm và mô hình Heisenbergcho hệ spin định xứ đã được áp dụng để tính toán năng lượng tự do củahệ spin trong màng mỏng. Các tính toán giải tích đã dẫn đến việc biểudiễn năng lượng tự do của hệ như một tích phân phiếm hàm. Sử dụngbiểu thức năng lượng tự do này để tìm sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từhóa của hệ khi có trường ngoài, kết quả tìm được khá phù hợp với kếtquả của hệ 2 chiều tìm được bằng phương pháp hàm Green.1 GIỚI THIỆULĩnh vực từ học đã nhận được một sự thúc đẩy to lớn do sự xuất hiện các vật liệumới và các công cụ với những thao tác tinh vi. Mô hình Heisenberg, mô tả một tậphợp các mômen từ định xứ được ghép cặp bởi tương tác trao đổi, là một trong nhữngmô hình thích đáng nhất trong hoàn cảnh này.Tích phân phiếm hàm lần đầu tiên được áp dụng trong cơ học lượng tử bởi R.Feynman và bây giờ là một trong những phương pháp toán học hữu hiệu nhất trongvật lý lượng tử đương thời. Phạm vi ứng dụng rộng rãi của các tích phân phiếmhàm [1] đã khuyến khích sự phát triển của chúng. Các phương pháp tích phân phiếmhàm được sử dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyết hiện đại [6]-[8]. Cụ thể các phươngpháp này được sử dụng để đạt được các tiến trình quan trọng về các hiện tượng tớihạn bởi phương pháp nhóm tái chuẩn hóa [7]. Phương pháp này đơn giản hơn so vớiphương pháp toán tử. Trong các vấn đề của lý thuyết tổng quát của sự chuyển pha,ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm giúp xây dựng bức tranh lượng tử củacác hiện tượng và phát triển các phương pháp tính toán gần đúng, trong một vàivấn đề, nó cho phép chúng ta chứng minh các kết quả nhận được bởi các phươngpháp khác, làm sáng tỏ các khả năng ứng dụng của chúng.Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HuếISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 36-42TÍNH TOÁN NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA HỆ SPIN TRONG MÀNG MỎNG...37Trong bài báo này, tác giả đã biểu diễn năng lượng tự do của hệ spin trong màngmỏng như một tích phân phiếm hàm và sau đó tính toán năng lượng tự do của hệtrong phép gần đúng Gaussian.2 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN VÀ KẾT QUẢXét một màng mỏng gồm n lớp spin và giả sử rằng có N spin trên mỗi lớp. Vị trícủa mỗi spin trong mạng được xác định bởi các chỉ số ν, j, với ν = 1, ..., n là chỉ số~j , một vectơ hai chiều, là vectơ biểu thị vị trí của spin thứ j trong lớp ν.lớp. Gọi RMô hình Heisenberg cho hệ spin của màng mỏng có dạng:H = H0 + Hint = −µXzhSνj−ν,j1 X~j − R~j 0 )S α S α0 0 ,Jνν 0 (Rνj ν j2 νj,ν 0 j 0(1)với H0 là Hamiltonian của hệ spin không tương tác trong một từ trường đều đượcđịnh hướng dọc theo trục z với cường độ h, Hint là Hamiltonian tương tác trao đổi~j − R~j 0 ) là tương tác trao đổi giữa spin S α và spin S α0 0 ; α = x, y, zHeisenberg, Jνν 0 (Rνjν jvà µ là mômen từ của một nút mạng. Sử dụng phép biến đổi Fourier cho các toántử spin, ta được:H = −µXzhSνj−ν,j1 XJνν 0 (~k)Sνα~k Sνα0 −~k ,2 0(2)ν,ν ,~kvớiSνα~k=N−1/2NXαSνj; Jνν 0 (~k)=j=1NXhi~j − R~j 0 )exp i~k(R~j − R~j 0 ) .Jνν 0 (R(3)j=1Toán tử thống kê của hệ trong biểu diễn tương tác:exp(−βH) = exp(−βH0 )TˆΠα expZβ01 XJνν 0 (~k)Sνα~k (τ )Sνα0 ,−~k (τ )dτ .20(4)~k,ν,νSử dụng phép biến đổi tích phân [4](exp1Xxi Aij xj2 i,j)µ Z= Πi∞−∞dy√ i2π¶(1X 2 X1/2exp −y +xi Aij yj2 i ii,j),(5)38PHẠM HƯƠNG THẢObiến đổi biểu thức dưới dấu T tích trong phương trình (4), ta nhận đượcÃ!Z1X αϕ (q)ϕαν (−q) ×exp(−βH) = exp(−βH0 ) (dϕ)exp −2 α,ν,q νX p 1/2Tˆexp βJν,ν 0 (~k)Sνα0 (~q) ,(6)ν,ν 0 ,α,~qvới (dϕ) là phép đo của tích phân phiếm hàm được định nghĩa bởi [4], vàXXX~q = (~k, ω),... =... .~q~kωSử sụng biểu thức (6), chúng ta biểu diễn năng lượng tự do của hệ như một tíchphân phiếm hàm:ZX11F = −β −1 ln(Spe−βH ) = F0 − ln (dϕ) exp −ϕαν (~q)ϕαν (−~q) − Fint [ϕ] ,β2α,ν,~q(7)với¢1 ¡nN sh (βµh(S + 1/2))F0 = − ln Spe−βH0 = −lnββsh (βµh/2)là năng lượng tự do của hệ không tương tác và β −1 = kB T . VàX [m]X Xlmir l1−Fint [ϕ] = −F1 [ϕ] = (m!)−1...hT ρlq~11 ...ρlqm~m i0 ϕq~1 ...ϕq~m ,m≥1q~1 ,l1(8)(9)q~m ,lmirvới hT ρlq~11 ...ρlqm~m i0 là các giá trị trung bình rút gọn. Ta đặtF [ϕ] =1X αϕν (~q)ϕαν (−~q) + Fint [ϕ] = FG (ϕ) + ∆F [ϕ] ,2(10)α,ν,~qở đâyFG [ϕ] =1 X1X αβJν,ν 0 (~k)ϕzν (~k, 0)ϕzν (−~k, 0)b0 (y)ϕν (~q)ϕαν (−~q) −220ν,ν ,~k6=0α,ν,~q−1 Xq ) ,(11)q )ϕ+βK−ω (y)b(y)Jν,ν 0 (~k)ϕ−ν (−~ν (~20ν,ν ,~q 6=0và∆F [ϕ] =Xm≥3[m]F1 [ϕ] ,(12)TÍNH TOÁN NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA HỆ SPIN TRONG MÀNG MỎNG...391với Kω (y) = y−iω; y = βµh; b(y) và b0 (y) là hàm Brillouin và đạo hàm bậc 1 của nó[8]. Năng lượng tự do trong (7) có thể được biểu diễn theo các thăng giáng Gaussian:F = F0 + FG + ∆F ,(13)với gần đúng bậc không F0 và năng lượng tự do FG trong phép gần đúng GaussianZ−1FG = −β ln (dϕ) exp (−FG [ϕ]) =´ 1X³´³1Xlndet I − βb0 (y)Jν,ν 0 (~k) +.lndet I − βK−ω (y)b(y)Jν,ν 0 (~k) (14)β 0β 0~k,νq~,νCác hiệu chỉnh ∆F có thể được biểu diễn dưới dạng các khai triển theo các thănggiáng Gaussian rút gọn:Xc∆F =(n!)−1 h(F1m [ϕ])n iG ,(15)n≥1ở đây chỉ số G để chỉ giá trị trung bình rút gọn theo phân bố GaussianZZ−FG [ϕ]h(...)iG = (dϕ)e(...)/ (dϕ)e−FG [ϕ] .(16)Sử dụng biểu thức năng lượng tự do (13)-(15) để tính toán độ từ hóa của hệ spintrong màng mỏng 4 lớp, n = 4, để đơn giản ta xét trong gần đúng thấp nhất ∆F = 0.Ta có, độ từ hóa của hệ được tính theo công thức:M =−∂F= M0 + M1 + M2∂h(17)với M0 = µnN (((S +1/2)exp(y(S +1/2))−(−S −1/2)exp(−y(S +1/2)))/(exp(y/2)−exp(−y/2)) − (exp(y(S + 1/2)) − exp(−y(S + 1/2)))/(exp(y/2) − exp(−y/2))2 (1/ ...