Toán cơ bản và nâng cao 11: Nhị thức Niu Tơn phần 4

Tài liệu "Toán cơ bản và nâng cao 11: Nhị thức Niu Tơn phần 4" đưa ra một số ví dụ minh họa và bài tập tự luyện về Nhị thức Niu Tơn. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích chó các em học sinh lớp 11 ôn tập và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán cơ bản và nâng cao 11: Nhị thức Niu Tơn phần 4Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung9507. NH TH C NIU-TƠN – P4Th y ng Vi t Hùng [ VH]L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE MOON.VN [Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 11 – Chuyên T h p]Ví d 1: [ VH]. Tìm h s c a s h ng ch a x1 3 C 20n +1 + C 2 n +1 + C 22n +1 + C 2 n +1 + ... + C 2nn +1 = 1024212  trong khai tri n nh th c Niu-tơn  x 2 −  x 3n; x ≠ 0 bi t+) Ta có khai tri n : (1 + x )Vì Ck 2 n +12 n +1L i gi i: 0 1 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 x + ... + C2 n +1 x 2 n +10 1 2 2 n +1 0 1 2 n Cho x = 1 ư c: 22 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ...C2 n +1()=C2 n +1− k 2 n +1Do ó: 1024 = 2 ⇒ n = 5 .2n15 0 2 15 − k   −2  k k +) Khi ó: A =  x 2 −  = ∑ C15 x 2 k   = ( −2 ) ∑ C15 x3 k −15 x x    0 15 Cho 3k − 15 = 21 ⇒ k = 12 . 21 H s c a s h ng ch a x trong khai tri n là: −36401515 − k 1  Ví d 2: [ VH]. Tìm h s c a x trong khai tri n nh th c Newton bi u th c P ( x) =  3 + x 2  v i n x  n +1 n+ 2 2n 100 nguyên dương th a mãn: C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 .20nL i gi i :+1 n C22nn+1 = 1 và Cnk = Cn − k ; ∑Cnk = 2n . Ta có:nk =0+1 +2 2n 0 1 +1 2n+ C2nn +1 + C2nn +1 + ... + C2 n +1 = 2100 − 1 ⇔ C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 + ... + C2 n +11 = 2101 ⇔ 22 n +1 = 2101 ⇔ n = 50 50  1 2 k V i n = 50 ⇒ P ( x) =  3 + x  = ∑C50 x5 k −150 x  k =0 20 S h ng này ch a x ⇒ 5k − 150 = 20 ⇔ k = 34 34 V y h s c a s h ng ch a x 20 là C50 50Ví d 3: [ VH]. Cho khai tri n ( x 2 − 3 x + 2 ) tìm h s ch a x 2 trong khai tri n ó.n 4 Bi t C22n + C2 n + ... + C22nn = 219 − 1L i gi i :k 2n Xét: (1 + 1) 2 n = ∑ C 2 n = C0 n + C1 n + ... + C 2 n 2 2 k =0 k 2 (1 − 1)2 n = ∑ C2 n (−1) k = C0 n − C1 n − ... + C2 n 2 2 n k =0 2n 2nC ng hai v c a chúng l i ta có: 22 n = 2C0 n + 2 P = 2 + 2(219 − 1) ⇒ n = 10 2 Ta có: ( x 2 − 3 x + 2 ) = ( x − 1)10 10( x − 2)10= ∑ ( −1)k =01010 − kk C10 x k ∑ ( −2 ) i=01010 −ii C10 x iTham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VNcó s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y2NG VI T HÙNG10 − kFacebook: LyHung95Khi ó h s ch a x trong khai tri n là9 9∀i ; k∑ ( −1)C . ( −2 )k 1010 −iCi 10k = i = 1 th a mãn: i + k = 2 ⇒ i = 0; k = 2  i = 2; k = 0 1 1 1 Khi k = i = 1 h s s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 210.C10 2 0 2 i = 0; k = 2 h s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 210.C10 8 10 0 2 2 i = 2; k = 0 h s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 28 C10 10 81 2 2 V y h s ch a x 2 trong khai tri n trên là 210.C10 + 210.C10 + 28.C10 = 67840 1  Ví d 4: [ VH]. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c Niutơn c a  4 + x 7  , bi t r ng x 261 2 n C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 220 − 1nL i gi i0 1 2 + S d ng khai tri n sau: (1 + x) 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 x + C2 n +1 x 2 + ... + C22nn+11 x 2 n +1 0 1 n +1 Cho x = 1 ta có: 2 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C22n +1 + ... + C22n +1 n M t khác ta có công th c: Cnk = Cn − k 0 1 2 Do v y: 2 2 n +1 = 2(C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 ) = 2(1 + 2 20 − 1) ⇒ n = 1010 10  1  k  1  k Xét khai tri n:  4 + x 7  = ∑ C10  4  ( x 7 )10− k =∑ C10 x 70 −11k x  x  k =0 k =010kng v i h s c a s h ng ch a x26 ta có: 70 − 11k = 26 ⇔ k = 44 V y h s c a s h ng ch a x26 là C10+1 +2 +3 2 n −1 2n 2n+ Ví d 5: [ VH]. Cho x > 0 và C2nn +1 + C2nn +1 + C2nn +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +11 = 236 . 1  Tìm s h ng không ph thu c x trong khai tri n nh th c Niu-tơn c a  5 − x  .  x    L i gi i : k 2 n +1− k Ta có C2 n +1 = C2 n +1 ∀k : 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên 1 0 +1 +2 3 2 n −1 2n 2 n +1 1 2 −1 + C2nn +1 + C2nn +1 + C2nn++1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 = ( C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C22nn+1 + C22nn+1 + C22nn+11 ) 2 2 n +1 0 1 2 2 n −1 + Mà (1 + 1) = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C22nn+1 + C22nn+11 suy ra 236 = 2n ⇔ n = 1818 18 6 −18  1   1   1 k k k k 5 5 5 − x =  − x  = ∑ C18    .(− x) = ∑ C18 (−1) . ( x ) 5  x     x k =0 k =0    x    6k − 18 S h ng không ph thu c x ng v i = 0 ⇔ k = 3. 5 3 Suy ra s h ng c n tìm là C18 (−1)3 = −816nn1818− kVí d 6: [ VH]. Chon +1 n+2 n+3 2 n −1 2n ng th c C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 = 28 − 1 .Tìm h s c a s h ng ch a x10 trong khai tri n 1 − x + x3 − x 4()n.L i gi i :Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung95n +1 n+2 n+3 2 n −1 2n t S = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +10 1 2 n −1 n n +1 n+2 2n 2 n +1 Ta ...