Toán giải tích - Kiến thức cơ bản

Tài liệu tham khảo Toán giải tích - Kiến thức cơ bản giúp các bạn học toán tốt hơn
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán giải tích - Kiến thức cơ bản Phụ lục KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƯƠNG I Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết khái niệm hàm số đơn điệu.  Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biên của một hàm số và dấu đạo hàmcấp một của nó  Kỹ năng xét dấu một biểu thức  Kỹ năng xét tính đơn điệu của một hàm số.I.Tóm tắt lý thuyết:Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) a) f’(x)>0, ∀ x∈K ⇒ y= f(x) đồng biến trên K b) f’(x)< 0, ∀ x∈K ⇒ y= f(x) nghịch biến trên K c) f’(x)=0, ∀ x∈K ⇒ f(x) không đổi trên KĐịnh lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ’(x) ≥ 0 (f’(x) ≤ 0), ∀ x∈ K và f ’(x) = 0 chỉ tạimột số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K Phương pháp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số : + Tìm TXÐ ? + Tính đạo hàm : y/ .Tìm nghiệm của phương trình y/ = 0 ( nếu có ) + Lập bảng BXD y/ + Kết luận : Hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng nào ?II.Bài tậpA.Bài tập mẫu :1.Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: x2 − x +1 a) y= –2x3 +9x2 +24x –7 b) y = 1− x Giảia)Tập xác định: D= ¡  x = −1 y′ = −6x + 18x + 24 , cho y′ = 0 ⇔  2 x = 4 Bảng biến thiên: x -∞ -1 4 +∞ y’ - 0 + 0 - y +∞ -∞Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: (−∞; −1), (4; +∞) ; Hàm số đồng biến trên khoảng: (–1;4)b)Tập xác định: D= ¡ { 1} − x 2 + 2x x = 0 y′ = , cho y′ = 0 ⇔  ( 1− x ) 2 x = 2 Bảng biến thiên x -∞ 0 1 2 +∞ y’ - 0 + + 0 - y 14 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (0;1) và (1;2) Hàm số số nghịch biến trên mỗi khoảng: (-∞;0) và (2:+∞)Ví dụ 2: Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên ¡ Giải: Tập xác định: D= ¡ y′ = 3x2– 6mx+ m+ 2Ta co: ∆′ = 9m2– 3m– 6Bảng xét dấu ∆’: m 2 -∞ − 1 +∞ 3 ∆’ + 0 - 0 +Ta phân chia các trường hợp sau: 2  Nếu − ≤ m ≤ 1 .Ta có: ∆′ ≤ 0 ⇒ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số đồng biến trên ¡ 3  2  Nếu  m < − 3 . Ta có: ∆′ > 0 phương trình y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt x , x (giả sử  1 2 m > 1 x1< x2) Bảng biến thiên: x -∞ x1 x2 +∞ y’ + 0 - 0 + y +∞ -∞Hàm số không đồng biến trên ¡ 2Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: − ≤ m ≤ 1 3B.Bài tập tự giảiBài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = x33 ) +3x2+1. b) y = 2x22 - x4. x −3 x 2 − 4x + 4 c) y = . d) y = . x+2 1− xBài 2: Chứng minh rằng: hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (hoặc trên từng khoảngxác định) của nó : x2 − x −1 x −1a) y = x3− 2+3x+2. b) y = 3x . c) y = . x −1 2x + 1Bài 3 : Cho hàm số y = f(x) = ...