Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp 1 số bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về bất đẳng thức Côsi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 2) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]DẠNG 1. KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNGTrong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:  a+b b+c c+a a + b + c = + +Phép cộng:  2 2 2 2(a + b + c ) = (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) abc = ab bc ca , (a, b, c ≥ 0)Phép nhân:  2 2 2 a b c = (ab )(bc )(ca ) bc ca abVí dụ 1: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng + + ≥ a+b+c a b c Hướng dẫn giải:Ta có:bc ca ab 1  bc ca  1  ca ab  1  ab bc  + + =  + +  + +  +  a b c 2 a b  2 b c  2 c a bc ca ca ab ab bc ≥ . + . + . = a+b+c a b b c c aVí dụ 2: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . b+c c+a a+bChứng minh rằng + + ≥ a + b + c +3 a b c Hướng dẫn giải:b + c c + a a + b 2 bc 2 ca 2 ab  bc ca ab  + + ≥ + + = 2 + +  a b c a b c  a b c   bc ca   ca ab   ab bc  =  + +   + +   +   a b   b c   c a  bc ca ca ab ab bc ≥2 +2 +2 a b b c c a ( =2 a+ b+ c = ) ( a+ b+ c + ) ( a+ b+ c ) ≥ a + b + c + 33 a b c = a + b + c + 3 b+c c+a a+bVậ y + + ≥ a + b + c +3 a b c a+b+cVí dụ 3: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = . Chứng minh rằng 2a) ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc 1 8 1 1 1  1 1 1b) + + ≥ 2 + +  p−a p−b p−c a b c Hướng dẫn giải:a) Ta có: Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95( p − a )( p − b )( p − c ) = ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ≤ ( p − a ) + ( p − b) . ( p − b) + ( p − c ) . ( p − c ) + ( p − a ) 2 2 2 2 p − (a + b ) 2 p − (b + c ) 2 p − (c + a ) 1 ≤ . . = abc 2 2 2 8b) Ta có: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1  + + =  +  +  +  +  +  p − a p − b p − c 2  p − a p − b  2  p − b p − c  2  p − c p − a  1 1 1 ≥ + + ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) 1 1 1 ≥ + + ( p − a) + ( p − b) ( p − b) + ( p − c) ( p − c) + ( p − a ) 2 2 2  1 1 1 ≥ 2 + +  a b cDẠNG 2. KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐVí dụ 1: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b. a b cChứng minh rằng + + ≥3 (1) b+c−a c+a−b a+b−c Hướng dẫn giải:  y+z a = 2 b + c − a = x > 0    z+xĐặt: c + a − b = y > 0 ⇔ b = a + b − c = z > 0  2   x + y c = 2  y+z z+x x+ yKhi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành + + 2x 2y 2zTa có: y+ z z+ x x+ y 1 y x 1 z x 1 z y + + =  +  +  + +  +  2x 2y 2z 2 x y 2 x z  2  y z  2 y x 2 z x 2 z y ...