Toán Ứng dụng - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng

Tham khảo tài liệu toán ứng dụng - chương 7: trị riêng, véctơ riêng, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán Ứng dụng - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêngTrường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận7.2 – Chéo hóa ma trận.7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.7.6 – Dạng toàn phương 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  3 2   1 2Ví dụ. A u  v   1   1 0  1Tính A u và A v . Hãy cho biết nhận xét. Av u v AuSố  được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x kháckhông, sao cho Ax   x . Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A tương ứng với trị riêng  . 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 6  6 3 A u  v    2   5 2   5 Véctơ nào là véctơ riêng của A? Giải  1 6  6   24  6 Au        4    4.u  5 2  5   20   5  Ta có Au  4.u  u là véctơ riêng  1 6  3   9  Av        5 2  2   11 Không tồn tại số  để A v  v  v không là véctơ riêng 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ. 3 4 1  1; 2  3 A   6 5  Số nào là trị riêng của A? Giải. Xét hệ phương trình Ax  1 x  3 4  x1   x1   4x 1  4x 2  0     1    6 5 x 2  x2   6x 1  6x 2  0Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không, 1ví dụ x    khi đó Ax  1 x.  1 Vậy 1 là trị riêng.Kiểm tra tương tự thấy 2 không là trị riêng. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giả sử 0 là trị riêng của ma trận A  x 0  0 : A x 0  0x 0  A x 0  0x 0  0  (A  0I )x 0  0 Hệ thuần nhất có nghiệm khác không  det(A  0I )  0 det(A   I )  0 được gọi là phương trình đặc trưng củama trận vuông A.Đa thức PA ( )  det( A   I ) gọi là đa thức đặc trưng của A.Vậy  là trị riêng khi và chỉ khi  là nghiệm của phươngtrình đặc trưng. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det( A   I )  0.(Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo  )Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm củaphương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại.Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR 1 (chẳng hạn)bằng cách giải hệ phương trình ( A  1I ) X  0.Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứngvới trị riêng 1. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ------------------------------------------------------------------------------- ...