Tuyển tập các phương pháp giải toán qua các kỳ thi Olympic: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Các phương pháp giải toán qua các kỳ thi Olympic, phần 2 giới thiệu các chuyên đề: Định lý Casey và ứng dụng, một số phương pháp giải bài toán tồn tại trong tổ hợp, một cách đổi biến và ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển tập các phương pháp giải toán qua các kỳ thi Olympic: Phần 2156 Cdc phUcfng phdp gidi todn qua cdc ky thi OlympicT a i li$u tham khao 0|NH LY CASEY VA L/NG DUNG i [1] Ha V u Anh, Dudng doi trung, Chuyen de Bao cao tai Hoi Nguyen v a n Linh+ ; thao Toan sd cap nam 2010 tai B a V i , m Noi. [2] Nguyin V a n Ban, Hoang Chung, Hinh hoc cua tarn gidc, Nha xuat ban Giao due, 1996. [3] Doan Quynh (chu bien), Tdi lieu gido khoa chuyen Todn, Nha, xuat ban Giao due, 2010. 1. Gidri thieu [4] I. F . Sharyghin, Cdc bdi todn hinh hoc phdng, Nha xuat ban Dinh ly Casey du-dc dat theo ten nha Toan hoc John Casey, hay Nauka, 1996. con du-cfc gpi la djnh ly Ptolemy md rong (xem [1]), du-dc phat bieu nhu sau [5] Cae nguon tai heu tuf Internet: / Dinh ly 1. Cho bon dudng trdn C, (i = M j . Ky hieu Uj Id do ddi www.mathscope.org; cua tiep tuyen hai dudng trdn Q vd Cj. Khi do bdn dudng trdn C,: www.diendantoemhoc.net; Il, Cling tiep xuc vdi mot dudng trdn (hodc mot dudng thang) C khi vd www.mathlinks.org; chl khi www.imo.org.yu. tnhi ± ^13^42 ± ^14^23 = 0. Chii y rang tiep tuyen ducfc chon cua hai dudng trdn Q, Cj Id tiep fuyen chung ngodi khi vd chi khi cd hai dudng trdn Q, Cj cung tiep •^wc trong (hodc ngoai) vdi C, Id tiep tuyen chung trong khi vd chl * S i n h v i e n D a i h o c N g o a i thiTdng H a N o i . 157158 Cdc phuang phdp gidi todn qua cdc ky thi Olympic Dinh ly Casey vd Ung dung 159khi trong hai dudng trdn d, Cj c6 mot dudng trdn tiep xiic trong, Chiang m i n h . Ta chi c h t o g minh cho tnrdng hcJp tiep tuyen chungmot dudng trdn tiep xuc ngoai vdi C. Ddu cua Ujtki Id + khi vd ngoai, tnrdng hcJp tiep tuyen chung trong chiJng minh ttfcJng tu.chi khi cdc doan thing noi hai tiep diem cua Q vd Cj, Ck vd Cikhong cat nhau, ddu - khi vd chi khi ngugc Igi. Goi (O, R) la du-dng tron triTc giao v d i ( O i ) va (O2). (O) giao ( O i ) t a i A , B, giao (O2) tai C, D. Lay J tren (O) sao cho J nam De dang nhan thay k h i bon diTctng tron tren suy bien thanh tren true dang phiTcfng cua ( d ) va (02)- Goi k la phiTdng tich ti^ Jdirdng tron diem thi dinh ly Casey trd thanh dinh ly Ptolemy (xem den hai diTdng tron ( O i ) va (O2). Phep nghich dao bien A thanh[2]). A, B thanh 5 , C thanh C, D thanh D. K h i ba difdng tr6n suy bien thanh difdng tr6n diem t h i dinh ly Do A D e (O) nen A, B, C, D thang h^ng. PhepCasey trd thanh dinh ly Purser (xem [3]). nghich ddo bao to^n do Idn gdc giila hai dudng cong tai giao diem nen A, B va C, O2, D thang hang. Tuf do A, B, C, D nam tren dudng noi tam O1O2.2. Chufng m i n h d i n h ly Khong mat tinh tdng quat gia su A, B, C, D nam tren O1O2 theo thu tif, Ri < R2. G o i MN la tiep tuyen chung ngoai cua ( O i )L d i giai sau dia theo [4]. Ta se phat bieu chiJng minh mot bd va (O2) ( M G ( O i ) , G (O2)). G o i P la hinh chieu vuong gocdl. cua Oi tren O2N. Ta c6B o de 1. Cho hai dudng trdn {Ou Ri) vd {O2, R2) khong chijta nhau. MN = 0,P = 0,0l - O2P = 0 {R, - R2)I la mot diem nam ngoai hodc ...