Tuyển tập đề thi cao học môn toán

Tuyển tập đề thi cao học môn toán tại liệu tham khảo rất hay, cho anh chị nào muốn kết quả thi của mình được tốt, giúp rất nhiều trong việc tự ôn tập của mình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển tập đề thi cao học môn toán DongPhD Problems Book Series Tuyển tập Đề thi Cao học môn Toán (1998 – 2008)Cuốn sách bao gồm các đề thi tuyển sinh sau đại học của các trường ĐHQG HàNội, Đại học Sư phạm TPHCM, Đại học Huế, Đại học Vinh, Đại học Quy Nhơn, Viện Toán, Đại học Kinh tế Quốc dân. Contributors: Ngô Quốc Anh Đặng Xuân Cương DongPhD RobinHood Nguyễn Đình Hoàng Nhân Trần Mậu Quý Bản điện tử chính thức có tại http://www.vnmath.com Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMHội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004 ĐỀ THI MÔN : GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)Câu I:Cho không gian mêtric X với E, F là hai tập con của X sao cho E là tập conpact và F là tậpđóng. Đặt d(E, F ) = inf d(x, y) x∈E,y∈F a) Chứng minh tồn tại x0 ∈ E sao cho d(x0 , F ) = d(E, F ). b) Cho E ∩ F = Ø. Chứng minh tồn tại số t > 0 sao cho d(E, F ) ≥ t.Câu II:Cho (X, µ) là không gian có độ đo và hàm số f : X → R+ là hàm khả tích. Cho dãy (An ) cáctập đo được trong không gian X sao cho: ∞ [ An ⊂ An+1 với mọi n ∈ N và An = X n=1Chứng minh rằng: Z Z lim f dµ = f dµ n→∞ An XCâu III:Cho (X, µ) là không gian có độ đo và B ⊂ X với B là tâp đo được. Cho hàm số đo đượcf : X → N. Với n ∈ N , ta đặt: Bn = {x ∈ B : |f (x)| ≤ n}Chứng minh rằng với mọi n thì Bn là tập đo được và lim µ(Bn ) = µ(b) n→∞Câu IV:Tính tích phân sau đây: Z1 x + x2 enx lim dx n→∞ 1 + enx −1Câu V:Cho X là không gian Hilbert với tích vô hướng h·, ·i và en là một hệ trực chuẩn đầy đủ trongkhông gian X. Cho an là một dãy số. Đặt ∞ X T (x) = an < x, en > en , với x ∈ X n=1 a) Cho dãy an bị chặn. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính kT k. b) Cho lim an = 0. Chứng minh T là ánh xạ compact. n→∞ HẾT Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMHội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004 MÔN THI : ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Bài I: Cho A là vành giao hoán có đơn vị. a) Định nghĩa iđêan tối đại của vành A. b) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh M là iđêan tối đại khi và chỉ khi A/ là trường. M c) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh: Nếu ∀x ∈ M 1 + x khả nghịch trong A thì M là iđêan tối đại duy nhất của A. Bài II: a) Cho (G, ·) là một nhóm có 2n phần tử và H là một nhóm con của G có n phần tử. Chứng minh ∀x ∈ G x2 ∈ H b) Trong nhóm đối xứng S4 (nhóm các phép thế bậc 4) hãy xét tính chuẩn tắc của các nhóm con xiclic sinh bởi một vòng xích độ dài 3. Bài III: Trong trường các số hữu tỷ Q ta xét tập con: A= m n / ∈ Q n là số lẻ a) Chứng minh A là vành con của Q. b) Tìm các phần tử khả nghịch trong ...