Tuyển tập Toán bất đẳng thức

"Tuyển tập bất đẳng thức" với khoảng bốn trăm bài toán bất đẳng thức chọn lọc được gửi tới từ các bạn trẻ, các thầy cô yêu toán trên mọi miền của tổ quốc, ở đó bao gồm các bài toán bất đẳng thức mới sáng tạo....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển tập Toán bất đẳng thứcNguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c PH N I: LUY N T P CĂN B N I. Ch ng minh BðT d a vào ñ nh nghĩa và tính ch t cơ b n: 3 a3 + b3  a + b 1. Cho a, b > 0 ch ng minh: ≥  2  2  a+b a2 + b22. Ch ng minh: ≤ 2 2 a + b 3 a3 + b33. Cho a + b ≥ 0 ch ng minh: ≥ 2 2 a b4. Cho a, b > 0 . Ch ng minh: + ≥ a+ b b a 1 1 25. Ch ng minh: V i a ≥ b ≥ 1: + ≥ 1+ a2 1+ b2 1+ ab6. Ch ng minh: a 2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R7. Ch ng minh: a2 + b2 + c 2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e)8. Ch ng minh: x 2 + y 2 + z2 ≥ xy + yz + zx a + b+ c ab + bc + ca9. a. Ch ng minh: ≥ ; a,b,c ≥ 0 3 3 2 a2 + b2 + c 2  a + b + c  b. Ch ng minh: ≥  3  3  a210. Ch ng minh: + b2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc 411. Ch ng minh: a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b12. Ch ng minh: x 2 + y 2 + z2 ≥ 2xy − 2xz + 2yz13. Ch ng minh: x 4 + y4 + z2 + 1 ≥ 2xy(xy 2 − x + z + 1) 114. Ch ng minh: N u a + b ≥ 1 thì: a3 + b3 ≥ 415. Cho a, b, c là s ño ñ dài 3 c nh c a 1 tam giác. Ch ng minh: 2 2 2 a. ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 II. Ch ng minh BðT d a vào BðT CÔSI:1. Ch ng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; a,b,c ≥ 02. Ch ng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) ≥ 9abc ; a,b,c ≥ 0 33. Ch ng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ≥ (1+ 3 abc ) v i a , b , c ≥ 0 m m  a  b Cho a, b > 0. Ch ng minh:  1+  +  1+  ≥ 2m + 1 , v i m ∈ Z +4.  b  a bc ca ab5. Ch ng minh: + + ≥ a + b + c ; a,b,c ≥ 0 a b c x6 + y 96. Ch ng minh: ≥ 3x2 y3 − 16 ; x,y ≥ 0 4 17. Ch ng minh: 2a4 + ≥ 3a2 − 1. 1+ a 28. Ch ng minh: a1995 > 1995 ( a − 1) ,a>09. Ch ng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ≥ 6abc . 1Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y a b c 1  1 1 110. Cho a , b > 0. Ch ng minh: + + ≤  + +  a2 + b2 b2 + c2 a2 + c2 2  a b c 11. Cho a , b ≥ 1 , ch ng minh: ab ≥ a b − 1 + b a − 1 .12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Ch ng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)13. Cho a > b > c, Ch ng minh: a ≥ 33 ( a − b)( b − c ) c .14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Ch ng minh: a) b + c ≥ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc  1 1 1 c)  1+   1+   1+  ≥ 64  a  b c  115. Cho x > y > 0 . Ch ng minh: x+ ≥3 ( x − y) y16. Ch ng minh: x2 + 2 x+8 a2 + 5 a) ≥ 2 ,∀x ∈ R b) ≥ 6 , ∀x > 1 c) ≥4 x2 + 1 x −1 a2 + 1 ab bc ca a+b+c17. Ch ng minh: + + ≤ ; a, b, c > 0 a+b b+c c+a 2 x2 y2 118. Ch ng minh: 4 + ≤ , ∀x , y ∈ R ...