Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình...

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f/ (x) 0 (hoặc f/ (x)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình...Biên soạn: ThS. Đoàn Vương NguyênCHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGEA. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNHĐịnh lý 1Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f / (x) > 0 (hoặc f / (x) < 0 ) trong khoảng (a; b)thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó. 2Ví dụ 1. Giải phương trình log2 x = . x GiảiĐiều kiện: x > 0. 2Xét hàm số f(x) = log2 x - , D = ( 0; +¥ ) ta có: x 1 2f / (x) = + 2 > 0, x > 0 x ln 2 xSuy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (0; +¥ ) .Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.Định lý 2Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f / / (x) > 0 (hoặc f / / (x) < 0 ) trong khoảng (a; b)thì phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó.Ví dụ 2. Giải phương trình 2x + 3x = 3x + 2 . Giải f(x) = 2x + 3 x - 3x - 2, D = ¡ ta có :Xét hàm sốf / (x) = 2x ln 2 + 3x ln 3 - 3 , f / / (x) = 2x (ln 2)2 + 3x (ln 3)2 > 0 x Î ¡ .Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm.Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1.Chú ý:i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên kho ảng (a; b), g(x) liên t ục và ngh ịch bi ến trong kho ảng (a; b)đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c.ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì f(u) = f(v) Û u = v Î (a; b) .Ví dụ 3. Phương trình log 3 x = 4 - x có nghiệm duy nhất x = 3. 1 2Ví dụ 4. Giải phương trình 3x - 32x = - x 2 + 2x - 1 (1). +1 GiảiĐặt u = x 2 + 1, v = 2x , ta có :(1) Û 3u - 3v = v - u Û 3u + u = 3v + v (2).Xét hàm số f(t) = 3t + t Þ f / (t) = 3 t ln 3 + 1 > 0 t Î ¡ Þ (2) Û f(u) = f(v) Û u = v Û v - u = 0 Û - x 2 + 2x - 1 = 0 Û x = 1. Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1.Chú ý:Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng f(u) = f(v) Û u = v được. 1 1 1 Þ x = y ¹ 0 là sai. và x - =y-Chẳng hạn: f(t) = t - x y tB. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGEI. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ1. Định nghĩaCho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D. ì f(x) ³ m x Î X ïi) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu ï , ký hiệu: m = min f(x) . í ï f(x 0 ) = m, x 0 Î X xÎ X ï ï î ì f(x) £ M x Î X ï ï , ký hiệu: M = max f(x) .ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu í ï f(x 0 ) = M, x 0 Î X xÎ X ï ï î2. Phương pháp giải toán2.1. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nh ỏ nhất (min) c ủaf(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau:Bước 1. Giải phương trình f / (x) = 0 (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc đoạn[a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]).Bước 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm. x 2 - 4x + 5 trên đoạn [- 2; 3] .Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, ...