Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng

Trong viết báo này chúng tôi sử dụng góc định hướng vào giải một số bài toán Hình học phẳng chọn lọc và sáng tạo một số bài toán hình học. Đây là những bài toán chủ yếu liên quan đến mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn, đa giác và đường trònnội ngoại tiếp chúng. Việc sử dụng góc định hướng sẽ tránh tình trạng xét thiếu trường hợp hoặc phải biện luận nhiều trường hợp như việc dùng góc vô hướng thông thường trong Hình học phổ thông.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳngHNUE JOURNAL OF SCIENCENatural Science 2018, Volume 63, Issue 3, pp. 3-22This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vnDOI: 10.18173/2354-1059.2018-0001ỨNG DỤNG GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNGNguyễn Đạt Đăng1 và Lưu Công Đông21 KhoaToán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2 Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Y Hà NộiTóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi sử dụng góc định hướng vào giải một số bài toánHình học phẳng chọn lọc và sáng tạo một số bài toán hình học. Đây là những bài toán chủyếu liên quan đến mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn, đa giác và đường trònnội ngoại tiếp chúng. Việc sử dụng góc định hướng sẽ tránh tình trạng xét thiếu trườnghợp hoặc phải biện luận nhiều trường hợp như việc dùng góc vô hướng thông thường trongHình học phổ thông.Từ khóa: Góc định hướng, điểm đồng viên, điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy.1.Cơ sở lý thuyếtTrong lượng giác và số phức, người ta quan tâm tới sự chuyển động giữa hai tia để xây dựngcác giá trị lượng giác hoặc là argumen. Thông qua góc định hướng, ta biết được hình dạng và vị trícủa góc. Những kiến thức về góc định hướng đã được đề cập đến trong một số tài liệu [1-3], tuynhiên trong các tài liệu này chưa đề cặp nhiều đến tính ứng dụng góc định hướng vào các bài toán.Trong phần cơ sở lí thuyết dưới đây, chúng tôi sẽ nhắc lại và xây dựng một số các tính chất hữu íchvà thường xuyên xuất hiện trong các bài toán.1.1.Góc định hướng giữa hai tiad nếu coi Ox là tia đầu và Oy là tia cuối, thì ta nói gócĐịnh nghĩa 1.1. Cho góc hình học xOy,dxOy đã được định hướng (hoặc gọi là góc định hướng (Ox, Oy)). Số đo của góc định hướng(Ox, Oy) bằng số đo của một góc lượng giác bất kì trong tất cả các góc lượng giác có tia đầu Ox,tia cuối Oy.Ngày nhận bài: 13/3/2018. Ngày sửa bài: 20/3/2018. Ngày nhận đăng: 27/3/2018.Tác giả liên lạc: Nguyễn Đạt Đăng, địa chỉ email: dangnd@hnue.edu.vn3Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công ĐôngĐịnh nghĩa 1.2. Với mỗi góc định hướng (Ox, Oy) cho trước, ta tìm được góc lượng giác (Ox, Oy)với số đo α (rad) trong đó: −π < α ≤ π. Khi đó α được gọi là giá trị chính của góc định hướng(Ox, Oy) thành thử ta viết số đo của góc định hướng (Ox, Oy) dưới dạng: Sđ(Ox, Oy) = α+k2πhoặc (Ox, Oy) = α (mod 2π), với α là giá trị chính.Định nghĩa 1.3. Góc định hướng (Ox, Oy) có tia đầu Ox trùng với tia cuối Oy được gọi là gócđịnh hướng không và kí hiệu là (Ox, Ox) = 0 (mod 2π) hoặc (Oy, Oy) = 0 (mod 2π).Định nghĩa 1.4. Hai góc định hướng (Ox, Oy) và (Ou, Ot) chỉ khác nhau một bội của 2π, tức là(Ox, Oy) = (Ou, Ov) (mod 2π) thì ta nói hai góc này bằng nhau.Định nghĩa 1.5. Cho hai góc định hướng có số đo là α và β. Tổng của hai góc đó là một góc địnhhướng có số đo là α + β. Hiệu của hai góc đó là một góc định hướng có số đo là α + (−β) hoặcα − β. Nếu m là một số nguyên cho trước thì tích của m với góc có số đo α là một góc định hướngcó số đo bằng m.α.1.2.Góc định hướng giữa hai đường thẳngCho hai đường thẳng cắt nhau x và y. Hai đường thẳng đó lập thành bốn góc mà mỗi góchình học có số đo từ 0◦ đến 180◦ . Góc có số đo nhỏ nhất trong bốn góc đó được gọi là góc hìnhhọc giữa hai đường thẳng x và y, được kí hiệu là (x, y) hoặc (y, x). Trên cơ sở này, ta có khái niệmgóc định hướng giữa hai đường thẳng.Định nghĩa 1.6. Cho góc hình học tạo bởi hai đường thẳng x và y. Nếu coi x là cạnh đầu và y làcạnh cuối thì ta nói góc giữa hai đường thẳng x và y đã được định hướng (hoặc gọi là góc địnhhướng (x, y)). Số đo của góc định hướng (x, y) là số đo của góc định hướng giữa hai tia có chungđỉnh O và hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x và y [1] .Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa này, ta suy ra rằng nếu α là số đo của góc giữa hai tia nằm trên xvà y thì số đo của góc định hướng giữa x và y là:Sđ(x, y) = α + kπ (k ∈ Z) hoặc (x, y) = α (mod π).Trong đó α được gọi là giá trị chính.Định nghĩa 1.7. Cho hai góc (x, y) = α, (x′ , y ′ ) = β. Khi đó: (x, y) = (x′ , y ′ ) (mod π) khi vàchỉ khi giá trị chính của hai góc bằng nhau.Định nghĩa 1.8. Cho hai góc (x, y) = α, (x′ , y ′ ) = β. Khi đó:(x, y) ± (x′ , y ′ ) = α ± β.k(x, y) = kα(k 6= 0).4Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng1.3.Một số kết quả về góc định hướngĐịnh lí 1.1. Cho hai điểm phân biệt A, B và góc α (khác 0 và π). Tập hợp các giao điểm M củahai đường thẳng x và y lần lượt đi qua A và B sao cho (x, y) = α (mod π) là một đường tròn điqua A và B (trừ A, B). Trường hợp x k y thì góc định hướng (x, y) = 0 (mod π).Định lí 1.2. (Hệ thức Chasles) Với x, y, z là 3 đường thẳng bất kì thì:(x, y) + (y, z) = (x, z) (mod π).Định lí 1.3. Bốn điểm phân biệt A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ khi:(CA, CB) = (DA, DB) = 0 (mod π).Định lí 1.4. Bốn điểm phân biệt A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi:(AC, AB) = (DC, DB) 6= 0 (mod π).Định lí 1.5. (Hệ thức Chasles trong tam giác). Với m ...