Ước nguyên tố của một lớp các dãy số nguyên

Rất nhiều vấn đề trong Số Học liên quan đến sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố trong một dãy nguyên. Ví dụ như định lý Dirichlet, các số nguyên tố Fermat hay các số nguyên tố Mersene. Một vấn đề đơn giản hơn, đó là nói đến các ước nguyên tố của phần tử trong dãy. Bài viết này bàn về khái niệm ước nguyên tố của một dãy số nguyên, và tập các ước nguyên tố đó. Phạm vi bài viết là ở mức độ sơ cấp, mặc dù vấn đề nói đến trong bài vẫn được nghiên cứu ở lý thuyết Số cao cấp. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ước nguyên tố của một lớp các dãy số nguyên Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 ƯỚC NGUYÊN TỐ CỦA MỘT LỚP CÁC DÃY SỐ NGUYÊN Nguyễn Song Minh Hội toán học Hà Nội Tóm tắt nội dung Rất nhiều vấn đề trong Số Học liên quan đến sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố trong một dãy nguyên. Ví dụ như định lý Dirichlet, các số nguyên tố Fermat hay các số nguyên tố Mersene. Một vấn đề đơn giản hơn, đó là nói đến các ước nguyên tố của phần tử trong dãy. Bài viết này bàn về khái niệm ước nguyên tố của một dãy số nguyên, và tập các ước nguyên tố đó. Phạm vi bài viết là ở mức độ sơ cấp, mặc dù vấn đề nói đến trong bài vẫn được nghiên cứu ở lý thuyết Số cao cấp.1 Các quy ước và ký hiệu Suốt bài viết này, tôi sử dụng các ký hiệu với ý nghĩa được quy ước thống nhấtnhư sau: • gcd( a, b): Ước số chung lớn nhất của a; b ∈ Z. • m - a: Số nguyên a không chia hết cho số nguyên m (với m 6= 0). • b x c: Số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực x (phần nguyên của x). • ϕ(m): Phi hàm Euler. • v p (m): Hàm định giá p-adic. • P: Tập hợp chứa tất cả các số nguyên tố.2 Các kiến thức cơ sở Dãy số nguyên về bản chất, là hàm số với tập nguồn là Z+ và tập đích là Z. Do giátrị của các phần tử trong dãy là các số nguyên, vì thế chúng ta có được các tính chất 235 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018Số Học của chúng. Một vấn đề rất tự nhiên được đặt ra, đó là tìm hiểu các số nguyêntố là ước của ít nhất một trong những phần tử trong dãy. Bởi vậy, chúng ta quan tâmđến khái niệm sau.Định nghĩa 1. Cho dãy số nguyên { an }n∈Z+ , số nguyên tố p được gọi là ước nguyên tố củadãy khi và chỉ khi tồn tại chỉ số m sao cho p | am . Trong suốt bài viết này, với { an }n∈Z+ là một dãy số nguyên thì tập hợp các ướcnguyên tố của dãy { an }n∈Z+ được ký hiệu là P( an ). Còn với một tập con S của Z thìP(S) được hiểu là tập các số nguyên tố là ước của một phần tử nào đó trong S. Để minh họa cho định nghĩa nêu trên, ta xét một số ví dụ sau.Ví dụ 1. Với dãy các luỹ thừa của 2 là an = 2n−1 , khi đó chỉ có 2 là ước nguyên tố của dãy.Nói khác đi P 2n−1 = {2}. Ví dụ 2. Với dãy các luỹ thừa của 2 là an = 2n − 1. Khi đó mọi ước nguyên tố của dãy là cácsố nguyên tố lẻ, nói khác đi P (2n − 1) = P {2}. Lý do là bởi vì 2 - (2n − 1) ∀ n ∈ Z+và nếu p là số nguyên tố lẻ thì theo định lý Fermat bé ta có p −1 p| 2 −1 .Ví dụ 3. Xét dãy số nguyên sau đây an = 2n + 3n + 6n − 1.Dễ kiểm tra rằng 6 | a2 , do vậy 2, 3 đều là các phần tử của P ( an ), thêm nữa với p ∈P {2, 3} thì theo định lý Fermat bé ta có 6a p−2 = 3.2 p−1 + 2.3 p−1 + 6 p−1 − 6 ≡ 3 + 2 + 1 − 6 ≡ 0 (mod p).Điều đó cho thấy rằng P ( an ) = P.Bạn đọc hẳn nhận ra vấn đề với dãy số ở ví dụ này, chính là bài toán IMO 2005. Ngoài khái niệm về ước nguyên tố của dãy nguyên và tập ước nguyên tố, để thuậntiện cho việc theo dõi bài viết. Tôi nhắc lại một vài định lý và bổ đề Số Học hay sửdụng ở đây. 236 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018Định lý 1 (Euler). Với ϕ(m) là số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tốcùng nhau với m, khi đó a ϕm ≡ 1 (mod m). Từ định lý Euler, ta có một hệ quả đáng chú ý sau đây.Hệ quả 1. Cho k số nguyên khác 0 là a1 , a2 , . . . , ak và một số nguyên dương m > 1, khi đótồn tại N đủ lớn để N +nϕ(m) ai ≡ aiN (mod m) ∀ i = 1, k, n ∈ Z+ .Chứng minh. Giả sử ta có phân tích ra thừa số nguyên tố của m là t kj m= ∏ pj , p j ∈ P, p1 < p2 < . . . < pt , k j ∈ Z+ . j =1 Giả sử N = max k j : j = 1, t , khi đó. kj kj 1. Nếu p j - ai thì từ | m, vì phi hàm Euler có tính chất nhân tính nên ϕ pj pj | ϕ(m) sử dụng định lý Euler ta có ...