Vài Suy nghĩ về một bài toán tối ưu trong ℝ2

Bài báo này đề cập tới bài toán tối ưu, thường gặp trong ứng dụng thực tiễn: Tìm trên đường tròn đã cho một điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó tới hai điểm cho trước ở ngoài đường tròn là nhỏ nhất? Bài toán đặt ra tuy đơn giản nhưng việc tìm lời giải cho nó bằng giải tích hay hình học thực không dễ. Nó là một mở rộng trực tiếp của bài toán quen biết sau đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vài Suy nghĩ về một bài toán tối ưu trong ℝ2Nguyễn Kiều LinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ99(11): 85 - 89VÀI SUY NGHĨ VỀ MỘT BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG ℝ2Nguyễn Kiều LinhTrường Đại học Khoa học - ĐH Thái NguyênTÓM TẮTBài báo này đề cập tới bài toán tối ưu, thường gặp trong ứng dụng thực tiễn: Tìm trên đường trònđã cho một điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó tới hai điểm cho trước ở ngoài đường tròn là nhỏnhất? Bài toán đặt ra tuy đơn giản nhưng việc tìm lời giải cho nó bằng giải tích hay hình học thựckhông dễ. Nó là một mở rộng trực tiếp của bài toán quen biết sau đây, nhưng đơn giản hơn và đãcó lời giải đẹp: Tìm trên đường thẳng cho trước một điểm sao cho tổng khoảng cách từ nó tới haiđiểm đã cho ở ngoài đường thẳng là nhỏ nhất? Trong bài viết này chúng tôi trình bày hai cách tiếpcận bài toán dựa trên kiến thức tối ưu và các tính chất hình học của ellipse.Từ khóa: Bài toán tối ưu, cách tiếp cận giải tích, cách tiếp cận hình học….NỘI DUNG BÀI TOÁN VÀ Ý NGHĨATHỰC TẾ*Xét bài toán tối ưu sau đây trong mặt phẳng:Bài toán. Tìm trên đường tròn đã cho một điểmsao cho tổng khoảng cách từ đó tới hai điểmcho trước ở ngoài đường tròn là nhỏ nhất?Bài toán này là một mở rộng của bài toánquen biết sau đây: Tìm trên đường thẳng chotrước một điểm sao cho tổng khoảng cách từnó tới hai điểm đã cho ở ngoài đường thẳnglà nhỏ nhất?Có thể giải thích ý nghĩa của bài toán đặt ratheo một số cách như sau:a. Giả sử điện lưới được truyền dọc theotuyến đường H đến một ngã ba trung tâm, saukhi cấp điện chiếu sáng và sinh hoạt cho vòngtròn trung tâm, nguồn điện cần được chuyểntiếp tới hai tuyến đường tiếp theo sau ngã ba,bắt đầu ở A và B (xem Hình 1). Vấn đề đặt ralà cần tìm một vị trí D trên vòng tròn trungtâm để từ đó đặt hai đường cáp ngầm chạythẳng tới A và B sao cho tổng khoảng cách từvị trí được chọn (trên vòng tròn trung tâm) tớiA và B là nhỏ nhất (tức là tốn ít công sức, vậtliệu và điện năng nhất)?b. Giả sử có một hồ nước hình tròn (tâm I,bán kính r). Có hai cánh đồng mà A và B lànguồn cấp nước cho mỗi cánh đồng. Cần đặtmột trạm bơm ở ven hồ và các đường mương(hoặc ống) dẫn nước thẳng từ đó tới A và Bsao cho đỡ tốn đường dẫn nhất?*Tel: 0985 059646, Email: nguyenkieulinhk4@gmail.comBài toán đặt ra tuy đơn giản nhưng hàm chứanội dung toán học sâu sắc, bởi vì việc tìm lờigiải cho nó bằng giải tích hay hình học thựckhông dễ. Trong bài viết này chúng tôi xinnêu một vài suy nghĩ về bài toán đặt ra, mongđược trao đổi với bạn đọc và đồng nghiệp cóquan tâm tới bài toán.Hình 1. Minh họa bài toán:Tìm D cấp điện cho A và BTRƯỜNG HỢP DỄ GIẢICách giải bài toán tùy thuộc vào vị trí tươngđối của đường tròn và hai điểm đã cho (kýhiệu A và B). Sau đây là một số trường hợpdễ giải khác nhau.a. Đoạn thẳng AB tiếp xúc với đường tròn(tiếp điểm nằm trong AB). Khi đó tiếp điểmchính là điểm cần tìm và khoảng cách ngắnnhất bằng độ dài đoạn AB (xem Hình 2a).Lưu ý: nếu đường thẳng qua A, B tiếp xúc vớiđường tròn ở ngoài đoạn AB thì tiếp điểmkhông là lời giải (xem cách giải cho trườnghợp tổng quát).85Nguyễn Kiều LinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ99(11): 85 - 89BTAAPQa) tiếp điểm TBb) giao điểm P hoặc QABRIIraAc) điểm RcKh-rOBd) điểm KHình 2. Điểm cần tìmb. Đoạn thẳng AB cắt đường tròn tại hai điểm(nằm trong AB). Khi đó mỗi giao điểm đều làđiểm cần tìm và khoảng cách ngắn nhất bằngđộ dài đoạn AB (xem Hình 2b). Lưu ý: nếuđường thẳng đi qua A và B cắt đường tròn tạihai điểm (nằm ngoài đoạn AB) thì các giaođiểm cũng không chắc chắn là lời giải (xemcách giải cho trường hợp tổng quát).c. Tâm đường tròn nằm ngoài đoạn AB,nhưng ở trên đường thẳng đi qua A và B. Khiđó một trong hai giao điểm của đường thẳngvới đường tròn (điểm nằm gần A hoặc B hơnđiểm kia) sẽ là điểm cần tìm và khoảng cáchngắn nhất bằng độ dài đoạn AB cộng vớikhoảng cách từ giao điểm tới A hoặc B (xemHình 2c).d. Một trường hợp riêng dễ giải nữa như sau:Tâm I của đường tròn nằm trên đường trungtrực của đoạn thẳng AB với O là điểm giữađoạn AB. Giả sử IO cắt đường tròn tại điểmK. Khi đó K chính là điểm cần tìm. Có thểtính tổng khoảng cách từ K tới A và B nhưsau: Nếu đặt h = IO, b = h - r, c = |AB|/2 và a= b + c thì tổng khoảng cách nhỏ nhấttừ K tới A và B bằng 2a (xem Hình 2d).2862TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁTNếu không gặp một trong bốn trường hợp kểtrên thì ta cần cách tiếp cận khác.Bài toán đặt ra được phát biểu bằng lời màkhông dùng đến bất cứ một công thức toánhọc nào. Đây thực chất là một bài toán tối ưu(tìm cực tiểu hàm khoảng cách theo điểmchạy trên đường tròn). Để có thể vận dụngđược công cụ tối ưu, trước hết cần đặt lại (haymô hình hóa) bài toán bằng ngôn ngữ toánhọc. Cùng một bài toán có thể có nhiều cáchđặt mô hình toán học khác nhau và cách giảiđơn giản hay không phụ thuộc rất nhiều vàomức độ thành công của việc mô hình hóa đó.Trong bài viết này chúng tôi mô hình hóa bàitoán như sau.Ký hiệu độ dài đoạn AB đã cho là 2c (c > 0).Lấy đường thẳng đi qua A và B làm trụchoành, đường thẳng vuông góc với trục hoànhvà đi qua trung điểm đoạn thẳng AB làm trụctung. Như vậy gốc tọa độ là điểm giữa đoạnthẳng AB, ký hiệu đó là điểm O với tọa độ O= (0, 0). Giả sử A nằm phía trái O có tọa độA = (- c, 0) và B nằm phía phải O có tọa độ B= (c, 0).Nguyễn Kiều LinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆGiả sử tâm I của đường tròn đã cho có tọa độ(p, q) với p, q ∈ ℝ, và bán kính của đườngtròn là r (r > 0). Ký hiệu tọa độ của điểm Dnằm trên đường tròn đã cho là D = (x, y)(xem Hình 3).Khi đó tổng khoảng cách từ D tới A và B là( x + c) 2 + y 2f(x, y) =+( x − c) 2 + y 2và ta đi đến bài toán: Tìm cực tiểu hàm f(x, y)với điều kiện (x - p)2 + (y - q)2 = r2.99(11): 85 - 89Cách tiếp cận giải tíchBằng giải tích ta có thể dùng phương phápnhân tử Lagrange (xem [1], §8.2, tr. 229 240). Cách làm như sau: Đưa vào nhân tử λvà xét hàm Lagrange:L(x, y, λ) =( x + c) 2 + y 2( x − c) 2 + ...