Vấn đề 4: Ứng dụng tích phân

Vấn đề 4: Ứng dụng tích phân được biên soạn với các nội dung chính: Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích tròn xoay. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo tài liệu. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vấn đề 4: Ứng dụng tích phânChuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân Vấn đề 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂNI. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thứcPhương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x  a, x  b, y  f(x), y  g(x) với ba  b là S   f ( x)  g ( x) dx aVí dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  3x , y  2 x  1Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) y  x2  2 x  4, y  4  x b) y  2 x3  x 2  8x  1, y  6 1 c) y  x2  2 x  2, y   x 2  x  3 d) y  2 x , y  e x , x  1 e x2 x2 e) y  ln x, y  0 và x  e f) y  4  y 4 4 2 g) Parabol y   x 2  6 x  8, tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung. 1 h) y  x3  3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x   2 2 i) y  x sin x, y  0, x  0, x  4 1 k) y  ln x , y  0, x  , x  e e l) y  (e 1) x, y  (ex  1) xDạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳngVí dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y  2x  2 , y   x2  2 x  2Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 1 2 5 a) y  x  2 x  2 và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm M ( ;-1) 2 2 b) y  x 2  4 x  3 , y  x3 c) y  x 2 , y  x  2 d) y  x2 , y  2  x, y  0 x2 27 e) y  x 2 , y  ,y f) y  5x2 , y  0, x  0, y  3  x 8 xBài 3: Chứng minh rằng với mọi m thì đồ thị hàm số y  x 2  1 luôn cắt đường thẳngy  mx  2 tại hai điểm phân biệt. Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đườngtrên là nhỏ nhấtTrung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400 Page 1Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết TuânBài 4: Xét hàm số y  x trên đoạn  0;1 . Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc  0;1 . Gọi S1 là 2diện tích giới hạn bởi các đường x  0 , y  m2 và y  x 2 , S2 là diện tích giới hạn bởi các đườngy  x 2 , y  m2 và x  1 . CMR với mọi giá trị của m  0;1 ta đều có 1 2  S1  S2  . 4 3II. Thể tích tròn xoayDạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x  a, x  b, y  0, y  f(x) với a  b. Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là b V     f ( x)  dx . 2 aVí dụ 3: Tính thể tích khối trong xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox x2  ( y  2)2  1.Ví dụ 4: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox: y  1  2 x  x2 và y  1Bài 5: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x  a) y  x ln x , y  0, x  1, x  e b) y  x sin x , y  0, x  0, x  2  c) y  sin 4 x  cos 4 x , y  0, x  , x  d) x2  y 2  8, y 2  2 x 2   e) y  x ln 1  x3 , x  1, y  0 f) y  x2  4 x  6; y   x 2  2 x  6 .Bài 6: Cho parabol (P): y = x2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H)là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)khi quay quanh trục Ox.Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với a  b. Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích b là V     g ( y )  dy 2 aBài 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường y  e x ; y  0  0  x    Khi quay quanh a) 0x b) 0yBài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0y a) y  x 2 ; x  y 2 ; b) y  x ; y  2  x; y  0 ; c) y  2 x  x 2 ; y  0 .Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400 Page 2 ...