Về một hàm số học

Việc khảo sát chữ số trong biểu diễn thập phân của môt số tự nhiên là một vấn đề rất gần gũi với chúng ta. Ta kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n (trong hệ thập phân)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về một hàm số học VỀ MỘT HÀM SỐ HỌC Huỳnh Tấn Châu, Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên Phan Thành Nam, Trường Đại học khoa học tự nhiên TPHCM Việc khảo sát các chữ số trong biểu diễn thập phân của một số tựnhiên là một vấn đề rất gần gũi với chúng ta. Ta kí hiệu S(n) là tổng các chữsố của số tự nhiên n (trong hệ thập phân) và bài này sẽ đề cập đến một sốtính chất lí thú của hàm S(n) cũng như một vài ứng dụng của hàm S(n) trongviệc giải quyết các bài toán số học. Trước hết ta có tính chất quan trọng sau: S (n) ≡ n (mod 9). Chứng minhtính chất này xin trao cho bạn đọc. Bây giờ là một vài ứng dụng.Bài toán 1. Viết các số 1, 2, 3, …, 2003 thành một dãy tùy ý và thu được số N. Hỏi N có thể là số chính phương? Bài giải : Theo tính chất trên, dễ thấy: N ≡ 1 + 2 + 3 + ... + 2003 = 2003.1002 ≡ 6 (mod 9) Như vậy, N chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, nên N không thể là số chính phương.Bài toán 2. Từ các chữ số 1, 2, …, 7 lập ra hai số có 7 chữ số A, B. Chứng minh rằng nếu A>B thì A không chia hết cho B. Bài giải : Giả sử A = B.C. Do S(A) = S(B) = 1 + 2 + … + 7 = 28 nên A và B đều không chia hết cho 3, hơn nữa A - B chia hết cho 9. Suy ra C - 1 chia hết cho 9. Đây là điều vô lí vì theo giả thiết dễ dàng có được: 1 < C < 10. Vậy ta có điều phải chứng minh.Bài toán 3. Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn: n+S(n)+S(S(n))=2001. Bài giải : Ta có : n < 2001 ⇒ S(n) < S(1999) = 28 ⇒ S(S(n)) < S(28) = 10. Suy ra n > 2001 - 28 - 10 = 1963. Từ đó: S(n) > S(1970) = 17 và S(S(n)) : > 2 nên n < 2001 - 17 - 2 = 1982. Mặt khác : 3n ≡ n + S (n) + S ( S (n)) = 2001 ≡ 3 (mod 9) nên n ≡ 1 (mod 3). Từ đó: n ∈ {1963;1966;1969;1972;1975;1978;1981} . Bằng cách thử trực tiếp ta thấy chỉ có các số 1969; 1972; 1975 thỏa mãn. Như vậy đáp số bài toán là n ∈ {1969;1972;1975} .Bài toán 4. (IMO - 1975) 1 Cho A là tổng các chữ số của số 4444 4444 và B là tổng các chữ số của A. Hãy tính tổng các chữ số của B. Bài giải : Đặt N= 4444 .4444 Do N < 10000 4444 nên N có không quá 4444.4 < 20000 chữ số. Từ đó : A < 9.20000 = 180000 ⇒ B < S(99999) = 45 ⇒ S(B) < S(39) =12 (1). Mặt khác: 4444 ≡ −2 (mod 9) nên N ≡ 2 4444 = 81431.2 ≡ −2 (mod 9) và do đó S(B) chia 9 dư 7 (2). Từ (1) và (2) suy ra S(B)=7.Bài toán 5. (Dự tuyển IMO - 1990) Kí hiệu bình phương tổng các chữ số của số tự nhiên n (viết theo hệ thập phân) là f(n). Đặt f k (n) = f ( f (... f ( x)...)) , k lần f. Tính f1991 (21990 ) . Bài giải : Rõ ràng: f (n) = S (n) . 2 Ta có: N = 21990 ≡ 2 (mod 9) ⇒ S ( f 2 ( N )) ≡ f 2 ( N ) ≡ f (4) ≡ 7 (mod 9). Mặt khác EMBED Equation.3 N = 2.8 663 < 10 664 nên: f ( N ) ≤ (9.664) 2 = 35712576 ⇒ f 2 ( N ) ≤ (2 + 9.7) 2 = 4225 ⇒ S ( f 2 ( N )) ≤ S (3999) = 30 . Suy ra: S ( f 2 ( N )) ∈ { 7,16,25} ⇒ f 3 ( N ) ∈ { 49,256,654} . Từ đó ta có: f 4 ( N ) = 132 = 169, f 5 ( N ) = 16 2 = 256, f 6 ( N ) = 169,... Vậy f1991 ( N ) = 256 . Bây giờ chúng ta đến với một vài đánh giá về hàm S(n). Với mọi cặp số tự nhiên m, n ta có các kết quả quan trọng sau: 1) S(n) < n 2) S(m+n) < S(m) + S(n). 3) S(m.n) < S(m).S(n). ở đây chúng tôi chỉ chứng minh cho (3) còn (1) và (2) là đơn giản và xin nhường cho bạn đọc. Đặt m = a1a 2 ...a p và n = b1b2 ...bq . Sử dụng các kết quả (1) và (2) với lưu q −1 ý S ( A.10 k ) = S ( A) , ta có: S (m.n) = S (m.b1 .10 + ... + m.bq −1 .10 + mbq ) ≤ S (m.b1 ) + ... + S (m.bq −1 ) + S (m.bq ) = S (a1 .b1 .10 p −1 + ... + a p .b1 ) + ... + S (a1 .bq .10 p −1 + ... + a p .bq ) ≤ ( S (a1 .b1 ) + ... + S (a p .b1 ) ) + ... + ( S (a1 .bq ) + ... + S (a p .bq ) ) ≤ ( a1 .b1 + ... + a p .b1 ) + ( a1 .bq + ... + a p .bq ) = (a1 + a 2 + ... + a p ).(b1 + b2 + ... + bq ) = S (m).S (n) 2Bài toán 6. (Vô địch Bungari) S ( n) ≤ 5 với n ∈ Z + . 1) Chứng minh rằng: S ( 2n) ...