Về sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán

Cho f(x) là một đa thức trên vành giao hoán bài viết này nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của f (x) khi xem xét nó trên các vành mở rộng của A. Trong trường hợp hệ tử cao nhất của f (x) là 1, chúng tôi đã xây dựng được một vành B A ⊇ sao cho f (x) có nghiệm trong B. Ngoài ra, bài báo còn đưa thêm một số ví dụ để chứng tỏ có một số khác biệt giữa sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán so với đa thức trên các trường.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán Khoa hoïc - Coâng ngheä VEÀ SÖÏ TOÀN TAÏI NGHIEÄM CUÛA ÑA THÖÙC TREÂN VAØNH GIAO HOAÙN Nguyễn Tiến Mạnh Trường Đại học Hùng Vương Tóm tắt Cho f ( x) là một đa thức trên vành giao hoán Bài báo này nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của f ( x) khi xem xét nó trên các vành mở rộng của A. Trong trường hợp hệ tử cao nhất của f ( x) là 1, chúng tôi đã xây dựng được một vành B ⊇ A sao cho f ( x) có nghiệm trong B. Ngoài ra, bài báo còn đưa thêm một số ví dụ để chúng tỏ có một số khác biệt giữa sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán so với đa thức trên các trường. 1. Mở đầu Các vấn đề liên quan đến nghiệm của một đa thức hay một phương trình đại số trên một trường thường thu hút nhiều sự quan tâm đối với cả hai lĩnh vực: đại số cổ điển và đại số hiện đại. Do tính chất không có ước của không, mỗi đa thức khác 0 trên một trường hay trên một miền nguyên đều có số nghiệm (tính cả số bội) không vượt quá bậc. Bên cạnh đó, lí thuyết mở rộng trường đã chứng tỏ mọi đa thức bậc dương trên một trường đều có đầy đủ các nghiệm trong một trường mở rộng nào đó [2]. Hơn nữa, công thức Viéte cho ta mối liên hệ giữa các biểu thức đối xứng của các nghiệm với các hệ tử. Vượt lên trên tất cả, nhà toán học vĩ đại E. Galois (1811-1832) đưa ra điều kiện cần và đủ để một phương trình đại số tổng quát bậc n giải được bằng căn thức kèm với nó là một lí thuyết nổi tiếng: Lí thuyết Galois [3]. Khi xem xét đa thức trên một vành là đối tượng rộng hơn, thì nhìn chung nhiều kết quả đã biết về nghiệm của đa thức trên các trường không còn đúng nữa. Vậy các kết quả đó thay đổi như thế nào? Trong bài viết nhỏ này, chúng tôi muốn đề cập đến một vài sự thay đổi đối với vấn đề tồn tại nghiệm của một đa thức trên vành giao hoán. 2. Nội dung 2.1. Trường đóng đại số Như chúng ta đã biết, mỗi đa thức f ( x) có bậc dương trên một trường  có thể không có nghiệm trong . Tuy nhiên luôn tồn tại một trường mở rộng  ⊇  sao cho f ( x) có nghiệm trong  [2]. Do số nghiệm của f ( x) không vượt quá degf ( x) nên sau một số bước mở rộng, ta sẽ được một trường chứa đầy đủ các nghiệm của f ( x). Qua đó chúng ta thấy mọi đa thức bậc dương trên một trường đều có đầy đủ các nghiệm nếu ta xét chúng trong một trường “đủ rộng”. Một câu hỏi đặt ra là tồn tại hay không một trường sao cho mọi đa thức bậc dương trên đó đều có đầy đủ các nghiệm hay nói cách khác chúng được phân rã hoàn toàn thành tích các phân tử bậc nhất. Để trả lời cho câu hỏi này, người ta đã đưa ra khái niệm sau. Định nghĩa 2.1.1. Cho  là một trường. Ta gọi  là trường đóng đại số nếu mọi đa thức f ( x) ∈ [x], degf ( x) > 0 đều có nghiệm trong � [3]. Ví dụ 2.1.2. Trường số phức  là đóng đại số. Từ định nghĩa của trường đóng đại số, bằng quy nạp ta có khẳng định dưới đây. 8 Ñaïi hoïc Huøng Vöông - K ­ hoa hoïc Coâng ngheä Khoa hoïc - Coâng ngheä Mệnh đề 2.1.3. Cho  là một trường đóng đại số. Khi đó mọi đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) ∈ [x1 , x2 , , xn ], degf ( x1 , x2 , , xn ) > 0 đều có nghiệm trong  n . Định lí sau chỉ ra sự tồn tại phổ biến của một trường đóng đại số. Định lí 2.1.4. Cho  là một trường. Khi đó tồn tại một trường  là mở rộng đại số của  sao cho  là một trường đóng đại số [3]. Cho trước một trường, khi đó có thể tồn tại nhiều trường đóng đại số là mở rộng của nó. Tuy nhiên trong thực tế người ta chỉ cần một mở rộng đóng đại số “vừa đủ”. Điều này dẫn chúng ta đến khái niệm sau. Định nghĩa 2.1.5. Trường  trong Định lí 2.1.4 được gọi là một bao đóng đại số của  [3]. Định lí 2.1.4 đã chỉ ra sự tồn tại của các bao đóng đại số đối với một trường cho trước. Tính duy nhất của chúng về mặt cấu trúc là nội dung của định lí dưới đây. Định lí 2.1.6. Các bao đóng đại số của cùng một trường thì đẳng cấu với nhau [3]. Ví dụ 2.1.7. Trường số phức  là một bao đóng đại số của trường số thực . . Tuy nhiên  không phải là một bao đóng đại số của  vì nó không phải là một mở rộng đại số của  . Như đã nói ở trên, trường đóng đại số là đủ rộng đối với bài toán tồn tại nghiệm của đa thức tùy ý. Mệnh đề sau sẽ cho thấy rõ hơn về lực lượng của loại trường này. Mệnh đề 2.1.8. Mọi trường đóng đại số đều có vô số phần tử. = {a1 , a2 , , an } . Xét đa thức Chứng minh: Giả sử  là một trường hữu hạn � n f ( x)= ∏ ( x − a ) + 1. k =1 n . Vậy  không là một trườn ...