Ví dụ tích phân

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Ví dụ tích phân có lời giải
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Ví dụ tích phânL i gi i: Cho: x = y = 1 ⇒ f ( f (1) ) = f (1) . f ( f (1) ) ⇒ f (1) = 1 vì f ( f (1) ) ≠ 0 ⇒ f ( f (1) ) = 1 . 1 f   f (1)   y a . x = 1; y ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ f   = y f ( y ) f ( f (1) ) = y f ( y ) ⇔ f ( y ) = ( )  y  yM t  1     f    f ( y)    1 khác: f ( f ( y ) ) = f     = y f ( y ) f  f    = y f ( y ) f ( y f ( y ) ) = y f ( y ) y f   y    y   1       y      1 1 = y f ( y) f   f ( f ( y )) . y  y 1 1 1Vì f ( f ( y ) ) ≠ 0 nên y f ( y ) f   = 1 ⇔ f ( y) f   = 1 (b) . y  y  y 1( a ) + (b) ⇒ f ( y ) = ∀y ∈( 0; + ∞ ) . Th l i th y ñúng. yVí d 13: Tìm f : R → R th a mãn:  1  f ( 0) = ( a )  2 . ∃ a ∈ R : f ( a − y ) f ( x ) + f ( a − x ) f ( y ) = f ( x + y ) ∀x, y ∈ R ( b ) L i gi i: 1Cho x = y = 0, ( b ) ⇒ f ( a ) = . 2Cho y = 0; x ∈ R ta ñư c: f ( x ) = f ( x ) . f ( a ) + f ( 0 ) . f ( a − x ) ⇒ f ( x ) = f ( a − x ) ( c ) . 2 2Cho y = a − x ; x ∈ R ta ñư c: f ( a ) = ( f ( x ) ) + ( f ( a − x ) ) (d ) .  1 2 1  f ( x) = 2( c ) + ( d ) ⇒ 2 ( f ( x )) = ⇔ . 2  f ( x) = − 1   2 1N u ∃ xo ∈ R sao cho: f ( xo ) = − thì: 2 2 1 (b) x x  x   x  (c)   x  − = f ( xo ) = f  o + o  = 2 f  o  . f  a − o  = 2  f  o   ≥ 0 ⇒ Vô lí. 2  2 2  2  2   2  1V y f ( x) = ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng. 2 16Ví d 14: (VMO.1995)Tìm f : R → R th a mãn: f (( x − y ) ) = x 2 2 2 − 2 y f ( x ) + ( f ( y ) ) ∀x, y ∈ R (14 ) .L i gi i: 2  f ( 0) = 0Cho x = y = 0 ⇒ f ( 0 ) = ( f ( 0 ) ) ⇔  .  f ( 0) = 1  y = 0N u f ( 0 ) = 0 : Cho  ta ñư c: f ( x 2 ) = x 2 ⇒ f ( t ) = t ∀t ≥ 0 x ∈ R 2 2Cho x = y ∈ R ta ñư c: f ( 0) = x2 − 2 x f ( x ) + ( f ( x ) ) ⇔ ( f ( x ) − x ) = 0 ⇔ f ( x ) = x .Th l i th y ñúng. y = 0N u f ( 0 ) = 1: Cho  ta ñư c: f ( x 2 ) = x 2 + 1 ⇔ f ( t ) = t + 1 ∀t ≥ 0 .  x∈R 2 2Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y 2 ) = −2 y + ( f ( y ) ) ⇒ ( f ( y ) ) = f ( y 2 ) + 2 y 2  f ( y) = y +1 = y 2 + 1 + 2 y = ( y + 1) ⇒ ...